0-1背包问题-动态规划 解释与C语言实现

算法思路

动态规划

• 动态规划算法与分治法类似，其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
• 可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。
• 具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

问题描述

物品数n=5，背包容量c=10。
物品重量序列w={2，2，6，5，4}，物品价值序列v={6，3，5，4，6}。
求最佳装包序列。

解决思路

//假设简单题目：背包容量5，物品ABC

	A	B	C
重量	2	3	4
价值	2	2	3

（可以直接推出：选AB价值总和最高，可最后验证是否正确)

1. 构建动态规划表

//表横轴为背包当前容量12345、纵轴为物品序号ABC。
//表格内容意义为当前容量（横轴）的最优价值

1. 将第一行第一列设为0.

	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
A	0
B	0
C	0

2. 从(1,A)处开始填数，

• A过程：如果该物品质量（ABC）大于当前背包容量（123456…）

  • 则不放入：现行背包总价值为之前的价值，即上格内容。

• B过程：如果该物品质量（ABC）小于等于背包容量（123456…）

  • 则判断价值AB大小，如果A>B则装入，否则不装入。

    • M:（装自己的重量）的最优价值

    • N:（不装自己的重量）的最优价值

        即M ： 
        		W =当前背包容量 - 当前物品重量（自重）的容量 
        		M = 表格上行当前容量W  对应的价值 + 自己的价值。
        即N = 不放自己的价值，即上面表格的价值。
      

该步骤完成可得下表：题目参考： ABC重量分别为234、价值分别为223

	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
A	0	0	2	2	2	2
B	0	0	2	2	2	5
C	0	0	2	3	3	5

//举例：例如(5,B)格的5是怎么来的：

1. 到A过程
   • 物品B质量为3，当前背包容量为5，3<5，不符合A。
2. 到B过程：
   • B价值为上格：2。
   • A价值为当前背包容量5 - 当前物品重量（自重）3 = 2 ，容量2所对应的价值，即在(A，2)的价值2 再加上自己的价值3 = 5
     因为 2 < 5 所以取5填入当前空

//举例：例如(5,C)格的5是怎么来的：

1. 到A过程
   • C质量为4，当前背包容量为5，不符合A。
2. 到B过程：
   • N价值为上格：5。
   • M价值为当前背包容量5-当前物品重量（自重）4 = 1 容量所对应的价值
     即在(A，1)的价值0 再加上自己的价值4 = 4
     因为 4 < 5所以取5填入当前空

2. 回溯找到相同的格子

//起点设置在右下角

• a.如果该格 与 上面一格价值相同

  • 那么上移 直到不相同 然后到b步

• b.如果该格 与 上面一格价值不同

  1. 则将当前物品记录到 选中的集合 中
  2. 然后找到左边 （当前容量减去当前物品重量） 的背包容量处
  3. 接着回到第a步，一直到边界

//过程如下（深绿色为要取的物品，要记录的值。淡绿色为移动过程）

3. 得到要装入的物品：AB

总结

先构造动态规划表，然后回溯获得最优解。

代码解决

C语言代码

#include<stdio.h>
#define MAX_SIZE 5//物品数量
#define BAG_SIZE 10//背包容量
int main() {
	int w[MAX_SIZE] = {2,2,6,5,4 };//重量
	int v[MAX_SIZE ] = {6,3,5,4,6 };//价值
	int table[MAX_SIZE + 1][BAG_SIZE + 1];//table表定义  每个元素都是当前容量下背包的最优价值
	int yes[MAX_SIZE];		//选中的物品集
	int yes_size = 0;		//选中集大小

	//建立 表
	for (int i = 0; i <= MAX_SIZE; i++)//i是商品序号  从1开始
		for (int j = 0; j <= BAG_SIZE; j++) {//j是当前背包容量  从0开始
			if (i == 0 || j == 0) {
				table[i][j] = 0;//使第一行以及第一列全为0
				continue;
			}
			if (w[i-1] > j)
				table[i][j] = table[i - 1][j];//如果质量大于背包容量，则不放入。   现行背包总价值为之前的价值
			else
				table[i][j] = table[i - 1][j] > (table[i - 1][j - w[i-1]] + v[i-1]) ? 
                                    table[i - 1][j] : (table[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
                //如果质量小于等于背包容量，则判断价值大小
                //（装自己的重量）的最优价值A 与 （不装自己的重量）的最优价值B
                //即A = （当前背包容量j减去当前物品重量（自重）的容量W）所对应价值，即上面表格那个容量W对应的价值 
                                              //再加上自己的价值。
                //即B = 不放自己的价值，即上面表格的价值。
		}
	//接下来回溯table表获取选中的物品
	int i = MAX_SIZE;//纵轴物品最下侧
	int j = BAG_SIZE;//横轴容量最右侧
	while (i > 0 && j > 0) {//如果定位点不在边界
		while (table[i][j] == table[i - 1][j])//如果该格 与 上面一格价值相同
			i--;//上移  一直到不相同
		yes[yes_size++] = --i;//将该物品（因为物品数组所以下标要-1）记录到选中的集合中
		j = j - w[i-1];//横向跳动，跳到减去刚才记录的物品的重量后的容量的横轴位置
	}
	printf("被选中的物品有：\n");
	for (int i = 0; i < yes_size; i++)
		printf("重量为%d，价值为%d的物品\n", w[yes[i]], v[yes[i]]);//循环输出刚才选中的物品
	return 0;//end main()
}

运行结果