数学分析_幂级数收敛分析
问题提出：
1.如何用根式判别法、比值判别法推出收敛半径的？
2.和数项级数的根式判别法、比值判别法，判别敛散性有何联系？
先说数项级数
我们知道对于等比数列，公比q＜1，级数才收敛
所以根式判别法、比值判别法实际求的就是公比q
lim n → + ∞ u n + 1 u n = ρ a n d lim n → ∞ u n n = ρ \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = ρ \quad and \quad \lim_{n\rightarrow{\infty}} \sqrt[n]{u_n} = ρ n→+∞limunun+1=ρandn→∞limnun=ρ
这里ρ就是公比，举例 0. 5 n → ρ = 0.5 ， 2 n → ρ = 2 0.5^n\rightarrow ρ = 0.5，2^n\rightarrow ρ = 2 0.5n→ρ=0.5，2n→ρ=2
所以ρ＜1一定收敛，而ρ = 1，不一定发散，比如 1 n 2 \large\frac{1}{n^2} n21 是收敛的
结论：ρ＜1，数项级数收敛
再说幂级数
以 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − 5 ) n \sum_{n=0}^∞a_n(x-5)^n ∑n=0∞an(x−5)n为例说明，同样地，先求公比
lim n → ∞ a n ( x − 5 ) n n = ρ ( x − 5 ) = ρ r ＜ 1 \lim_{n\rightarrow{\infty}} \sqrt[n]{a_n(x-5)^n} = ρ(x-5)= ρr ＜1 n→∞limnan(x−5)n=ρ(x−5)=ρr＜1
即 r ＜ 1 ρ r ＜\large\frac{1}{ρ} r＜ρ1，所以可以直接通过幂级数中的数项级数部分求出ρ，来找到收敛半径，临界点要带入级数中验算才能判断能不能取等。