考研数学之高等数学知识点整理——2.极限

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第二节、极限

一、极限的定义

• ① 数列极限的定义
  对于数列{X_n}，常数a，若对∀ε>0，∃正整数N，当n>N时，有|x_n-a|<ε，则称a为{x_n}的极限，或者称{x_n收敛于a}，记为
  $\lim_{n \to \infty }x_{n}=a$

• ② 当 $x→∞$ 时 $f(x)$ 的极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃正数X，当|x|>X时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→∞时的极限，记为
  $\lim_{x \to \infty }f(x)=A$

• ③ 当 $x→x_{0}$ 时 ( $x_{0}$为有限值) $f(x)$ 的极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的极限，记为
  $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=A$

• ④ 当 $x→x_{0}$ 时 ( $x_{0}$为有限值) $f(x)$ 的左右极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当0<x-x₀<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的右极限，记为
  $\lim_{x \to x_{0}^{+} }f(x)=A\ 或\ f(x_{0}+0)=A$
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当0<x₀-x<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的左极限，记为
  $\lim_{x \to x_{0}^{-} }f(x)=A\ 或\ f(x_{0}-0)=A$

二、数列极限的基本性质

• ① 极限的唯一性
  如果{x_n}收敛，那么它的极限唯一。
  

• ② 收敛数列的有界性
  如果{x_n}收敛，那么{x_n}一定有界。
  

• ③ 收敛数列的保号性
  如果 $\lim_{n \to \infty }x_{n}=a$，且a>0(或a<0)，那么∃正整数N，当n>N时，都有x_n>0(或x_n<0)。

  • 推论1
    如果 $\lim_{n \to \infty }x_{n}=a$， $\lim_{n \to \infty }y_{n}=b$，且a>b，那么∃正整数N，当n>N时，x_n>y_n。
  • 推论2
    如果∃正整数N，当n>N时，x_n≥0(或x_n≤0)， $\lim_{n \to \infty }x_{n}=a$，那么a≥0(或a≤0)。
    

• ④ 收敛数列与其子数列间的关系
  如果{x_n}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
  

三、函数极限的基本性质

• ① 极限的唯一性
  如果 $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=A$， $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=B$，那么A=B。
  

• ② 函数极限的局部有界性
  如果 $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=A$，那么∃δ>0，f(x)在{x|0<|x-x₀|<δ}内有界。
  

• ③ 函数极限的局部保号性
  如果 $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=A$，而且A>0(或A<0)，那么∃常数δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0)。
  如果在x₀的某空心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且 $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=A$，那么A≥0(或A≤0)；
  

• ④ 函数极限与数列极限的关系
  如果 $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=A$存在，{x_n}为f(x)的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足x_n≠x₀，那么{f(x_n)}必收敛，且 $\lim_{x \to x_{0} }f(x)=A$。
  

• ⑤ 复合函数的极限
  设y=f(u)在点u=a处连续，又 $\lim_{x \to x_{0} }φ(x)=a$，则 $\lim_{x \to x_{0} }f[φ(x)]=f(a)$。
  

四、无穷小量与无穷大量

1.定义

• 无穷小量
  如果 $\lim f(x)=0(x→x_0 或 x→∞)$，那么称函数f(x)为(当x→x₀或x→∞时的)无穷小量。
  

• 无穷大量
  如果 $\lim f(x)=∞(x→x_0 或 x→∞)$，那么称函数f(x)为(当x→x₀或x→∞时的)无穷大量。
  

2.性质

• 性质 1
  $\lim f(x)=A \Leftrightarrow A+α(x)$，其中α(x)是(x→x₀或x→∞)无穷小量
  

• 性质 2
  有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
  有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量；
  无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量；
  

3.无穷小量的比较

设在自变量x的同一变化过程中(如x→x₀或x→∞)，α(x)，β(x)都是无穷小：
如果 $\lim\frac{α(x)}{β(x)}=0$，则称α(x)是β(x)的 高阶无穷小 ，记作 $α(x)=ο(β(x))$。
如果 $\lim\frac{α(x)}{β(x)}=∞$，则称α(x)是β(x)的 低阶无穷小 。
如果 $\lim\frac{α(x)}{β(x)}=c(c≠0)$，则称α(x)与β(x)是 同阶无穷小 。
如果 $\lim\frac{α(x)}{β(x)}=1$，则称α(x)与β(x)是 等阶无穷小 ，记作 $α(x) \sim β(x)$。
如果 $\lim\frac{α(x)}{β(x)^{k}}=c(c≠0)$，则称α(x)是β(x)的 k阶无穷小 。

• 等价无穷小替换定理
  设在自变量x的同一变化过程中，α₁(x)，α₂(x)，β₁(x),β₂(x)都是无穷小，而且α₁(x)~α₂(x)，β₁(x)~β₂(x)，如果 $\lim\frac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$，则 $\lim\frac{α_{1}(x)}{β_{1}(x)}=\lim\frac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$。
  

4.常用等价无穷小

当x→0时，有
$\sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim e^{x}-1 \sim \ln(1+x) \sim x$
$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}$
$a^{x}-1 \sim x\ln a$
$(1+x)^{m}-1 \sim mx$

五、极限的四则运算

如果 $\lim f(x)$， $\lim g(x)$ 存在，且 $\lim f(x)=A$， $\lim g(x)=B$，则有
$\lim [f(x)±g(x)]=A±B$，
$\lim [f(x)·g(x)]=A·B$，
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B≠0)$，
$\lim f(x)^{g(x)}=A^{B}(A&gt;0)$，

六、极限存在的判别方法

• ① 单调有界定律
  单调增加(或单调减小)且有上界(或有下界)的数列{x_n}必有极限
  

• ② 夹迫定律
  如果数列{x_n}，{y_n}，{z_n}满足下列条件： $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} (n=1,2,···)$， $\lim_{n \to \infty }y_{n}=a，\lim_{n \to \infty }z_{n}=a$，那么数列{x_n}的极限存在，且 $\lim_{n \to \infty }x_{n}=a$。