【总结】幂级数和泰勒级数

出处:数学笔记31——幂级数和泰勒级数-by我是8位的

---

实际应用中，总是会出现一堆复杂的函数，这类函数往往令物理学家和数学家都十分头疼。为了解决这一窘境，泰勒想：会不会存在一种方法，把一切函数表达式都转化为多项式函数来近似呢？这样，处理问题不就变得简单了吗？经过泰勒夜以继日的奋斗，终于研究出了泰勒级数的理论。它将一切函数，不论表达式有多么多么的复杂，只有能保证n阶导数存在，就能将它的局部用多项式展开。泰勒级数在近似计算中有重要作用。实际上，利用多项式函数近似（或者称作逼近）一个复杂函数，是研究实际问题的一个非常重要的思想。

---

幂级数与几何级数

幂级数

幂级数是这样表示的：

几何级数

当 $a_n$是定值时，幂级数称为几何级数。

当 $a_n = 1$时：

收敛半径

以 $a_n = 1$的几何级数为例， $x$的取值范围（ $-1 < x < 1$）称为收敛半径，用 $R$表示。在收敛半径内，幂级数是收敛的；在收敛半径外，幂级数是发散的；如果 $|x| = R$，幂级数的收敛性不确定。根据该定义，如果 $x < |R|$，则必然有 $|a_nx^n|→0$，也就是：

将收敛半径看成一个圆， $x$的取值点如果在圆内，则幂级数是收敛的，在圆外则是无意义的。我们可以计算圆的大小，正如下面的示例，圆甚至可能是无穷大。

示例，计算下列幂级数的收敛半径：

当 $x < 2$时极限小于 $1$，所以收敛半径是 $R = 2$。可以看出，当 $x < 2$时，这是一个 $a_n = 1$的常规几何级数，其值是 $\frac{1}{1 - x}$，就是最开始介绍的公式。

这里存在 $a_n$， $a_n = n!$

对于任意 $x$，幂级数都是收敛的，其收敛半径是 $\infty$

3）

当 $x < 2$时极限小于 $1$，所以收敛半径是 $R = 2$。

4）

对于任意 $x$，幂级数都是收敛的，其收敛半径是 $\infty$

扫描二维码关注公众号，回复： 4767113 查看本文章

幂级数的运算

以上面的幂级数为例，它的意义之一就在于它可以反写右侧的表达式，即：

这样，幂级数就变成了一个灵活的工具，他能够将一个表达式展开。可以将幂级数看作没有尽头的多项式，所有适用于多项式的运算，包括加减乘除乘方开方等，都同样适用于幂级数，当然，还有我们关注的微分和积分，如下所示：

示例
很容易算出下面的积分：

现在我们试图用幂级数去计算：

由此也得到了一个副产品，就是 $\ln(x + 1)$的解释：

---

泰勒级数

泰勒公式

如果 $f(x)$在点 $x = x_0$具有任意阶导数，则下面的幂级数称为 $f(x)$在 $x_0$点的泰勒级数：

在泰勒公式中， $x$处于收敛半径内部，即 $|x| < R$，取 $x_0 = 0$点，得到级数：

上式表示对 $f$进行 $n$次求导之后，在零点的值，除以 $n$的阶乘再乘以 $x^n$。
实际上，在泰勒公式中，我们定义了

现在来看看泰勒公式为什么成立。

以三阶导数为例：

推广到n阶导数：

泰勒公式的应用

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

如下图所示，假设汽车沿着一个方向行驶，车辆的位移 $S$是关于时间 $t$的函数，我们知道在 $t = 0$时刻（可以理解为 $0$点）位移是 $S_0$，现在想要知道 $t = 1$时刻（凌晨 $1$点）车辆的位置：

ex

$f(x) = e^x$是一个可以用泰勒公式展开的例子。

当 $x = 1$时，还附带得到了 $e$的解释：

多项式的泰勒展开式

求解泰勒级数 $3x^3 + 4x^2 – 2x + 1$

由此可以看出，多项式的泰勒级数就是多项式本身。

---

幂级数的展开

示例1

展开 $\dfrac{1}{1 + x}$

由于已经知道几何级数 $\dfrac{1}{1 + x}$的展开式，所以可以直接写出答案：
$\dfrac{1}{1 + x} = 1 – x + x^2 – x^3 + … (R = 1)$

示例2

展开 $\sin x$

这需要动用泰勒公式。

$\sin 0 = 0$

$\sin'x = \cos x,\cos 0 = 1$

$\sin''x = -\sin x,-\sin 0 = 0$

$\sin''' x=-\cos x,-\cos0=-1$

$\sin^{(4)}x=\sin x,\sin 0=0$

$……$

根据泰勒公式：

由于 $|a_nx^n|→0$，所以 $R = ∞$

示例3

展开 $\cos x$

同上，

示例4

展开 $x\sin x$

展开的意义

先来看一个很难处理的积分，对正态分布进行积分：
由于被积函数与 $e^x$相似，我们又已经知道 $e^x$的展开式，所以可以进行下面的变换：

很容易计算右侧的积分。

这个例子展示了幂级数展开的意义——把质的困难转化成量的复杂。展开前求解函数的值很困难，展开后是幂函数的线性组合，虽然有很多很多项，但是每一项都是幂函数，因此每一项都容易求解。于是只要对展开后的函数求和，就能得到展开前的函数的值。

---

综合示例

示例1

求解泰勒级数

三阶导数的计算会非常麻烦，最好放弃，寻找其它方法。

$\ln(1 – x^3)$和 $\ln(1+ x)$非常相似，已经知道 $\ln(1 + x)$的结果：

现在用 $– x^3$代替 $x$：

示例2

求解泰勒级数的积分 $f(x) = 1 + 2^x +3 x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …$

取 $C = 1$，当 $|x| < 1$时，积分的结果是几何级数：

所以当 $|x| < 1$时，还可得到副产物：

示例3

看起来就很难对付。

仔细观察后会发现两个突破口，第一个是求和后求极限，这会联想到黎曼和；第二个是通过求和公式联想到某个函数的展开式，如果找到原函数，就能求解积分。顺着这个思路，由于 $\frac 2n$反复出现， $n\to\infty$时， $\frac 2n→0$，所以可将 $\frac 2n$看作 $Δx$，于是和式就可以写成：

如果令 $f(x) = (\dfrac{2i}n)2 – 1$，那么：

由此可以推测， $x = \dfrac{2i}n = iΔx$， $f(x) = x^2 – 1$。

用 $n = 4$验证，当 $n = 4$时， $Δx = \dfrac 24 = \dfrac 1 2$：

$n→∞$时， $i = n -1，\dfrac{2i}n→2$，最终：