Linear Algebra Review (1) -- Eigenvalues

由于工作和学习多涉及到机器学习，所以线性代数的知识自然是少不了的。回顾自己的本科和研究生生涯，数学功底比较扎实的，线性代数相关的一些基础概念如矩阵乘法，相关性，矩阵的秩等等记得很清晰的。但并非那么直观的概念像特征向量、二次型，空间转换相关概念，虽然复习了之后很快能想起来，但过了一段时间之后又会忘掉。确实线性代数比起高等数学和概率论，更加抽象一些，大概是因为现实生活中找不到相近的对照吧，这也是不易记忆的原因。想来还是自己写几篇博客，将抽象的概念用自己的话表述一遍，应该是对自己的记忆有帮助的。既然这些是给自己写的，那么一些繁琐的基本概念如矩阵乘法、行列式等我也就不再复述，我仅仅把自己认为重要的概念讲述一遍。

特征值和特征向量

1. 定义

对于n阶矩阵A，如果存在非零向量 x，以及数(不一定是实数)  使得

                                                                                        

成立，则我们称和x分别为矩阵A的特征值与特征向量。

2. 求解

对于 A  x，我们显然有，即方程有非零解，所以矩阵行列式必为0

                                                                                     

有了上式，我们可以得到一个关于的n元一次方程，如此便可求解。对于一个已知的特征值，求解其对应特征向量转化为方程求解问题

                                                                                   

3. 性质

1. 设n阶矩阵特征值为，则我们有(证略)

(i)  

(ii) 

扫描二维码关注公众号，回复： 5872757 查看本文章

2. 若是A的特征值，则是的特征值，其中f是多项式函数。证明思路：从定义出发

3. 是A各不相同的特征值(m <= n)，则其对应的特征向量线性无关。证明思路：从相关性定义可证

参考文献：

[1] linear algebra (Gilbert Strang)

[2] 线性代数（同济第四版）