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灰色预测模型
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
灰色预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，并生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
一、GM(1,1)模型
GM(1,1)是最简单的灰色预测模型，它是使用原始的离散非负数据列，通过一次累加生成削弱随机性的较有规律的新的离散数据列，然后通过建立微分方程模型，得到在离散点处的解经过累减生成的原始数据的近似估计值，从而预测原始数据的后续发展。（本文中只探究 GM(1,1) 模型，第一个 1 表示微分方程是一阶的，后面的 1 表示只有一个变量）
二、GM(1,1)原理
我们称方程 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b为 GM(1,1) 模型的基本形式（k=2,3,…,n），
其中， b 表示灰作用量。 − a表示发展系数。下面引入矩阵形式：
于是，GM(1,1) 模型 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b 可表示为：Y = B利用最小二乘法得到参数 a,b 的估计值为：
引入最小二乘法(OLS)：
最小二乘法定义：
白化方程求解：
三、准指数规律的检验
- 数据具有准指数规律是使用灰色系统建模的理论基础。
- 累加 r 次的序列为
，定义级为： 
- 如果 ∀ k , σ ( k ) ∈ [ a , b ]且区间长度 δ = b − a ＜ 0.5 ，则称累加 r 次后的序列具有准指数规律。
- 具体到 GM(1,1) 模型中，我们只需判断累加一次后的序列 x ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) , x ( 1 ) ( 2 ) , ⋯ , x ( 1 ) ( n ) ) 存在准指数规律。
- 根据上述公式：
序列 x ( 1 ) 的比级：
假设 x ( 0 ) 为非负序列，那么随着 k增加，最终 ρ ( k )会逐渐接近 0，因此要是的具有 x ( 1 )
具有准指数规律，即 ∀ k区间长度 δ ＜0.5，只需要保证 ρ ( k ) ∈ ( 0 , 0.5 )即可，此时序列 x ( 1 ) 的级比 σ ( k ) ∈ ( 1 , 1.5 )
注意：一般前两期：ρ ( 2 )和 ρ ( 3 )可能不符合要求，重点关注后面的期数。
四、GM(1,1)模型的评价
使用 GM(1,1) 模型对未来的数据进行预测时，首先需要检验 GM(1,1) 模型对原数据的拟合程度（对原始数据的还原效果）。一般有两种方法：残差检验和级比偏差检验。
残差检验：
- 如果
则认为 GM(1,1) 对原始数据的拟合达到了一般要求。 - 如果
则认为 GM(1,1) 对原始数据的拟合达效果非常不错。（10%不绝对）
级比偏差检验：
五、GM(1,1)模型的总结
- 数据是以年份度量的非负数据（如果是月份或者季度数据就要用 时间序列模型);
- 数据能经过准指数规律的检验（除了前两期外，后面至少90%的期数的光滑比要低于0.5，规定的 90% 不绝对) ;
- 数据的期数较短且和其他数据之间的关联性不强（小于等于10，也不能太短了，比如只有 3 期数据），要是数据期数较长，一般用传统的时间序列模型比较合适。
- 在传统的 GM(1,1) 模型的基础上，每预测一次，将预测的数据作为已知数据进行下一次预测，那么这种模型为 新信息 GM(1,1) 模型。在新信息 GM(1,1) 模型的基础上，去掉最老信息 x ( 0 )(1) ，那么这种模型为 新陈代谢 GM(1,1) 模型。应对比传统GM(1,1)、新信息 GM(1,1) 、新陈代谢 GM(1,1) 三种模型的预测效果，抉择使用。
六、灰色预测的例题
预测的题目的一些小套路：
（1）看到数据后先画时间序列图并简单的分析下趋势（例如：我们上一讲学过的时间序列分解）；
（2）将数据分为训练组和试验组，尝试使用不同的模型对训练组进行建模，并利用试验组的数据判断哪种模型的预测效果最好（比如我们可以使用SSE这个指标来挑选模型，常见的模型有指数平滑、ARIMA、灰色预测、神经网络等）。
（3）选择上一步骤中得到的预测误差最小的那个模型，并利用全部数据来重新建模，并对未来的数据进行预测。
（4）画出预测后的数据和原来数据的时序图，看看预测的未来趋势是否合理。
matlab代码讲解：
- 画出原始数据的时间序列图，并判断原始数据中是否有负数或期数是否低于4期，如果是的话则报错，否则执行下一步；
- 对一次累加后的数据进行准指数规律检验，返回两个指标：指标1：光滑比小于0.5的数据占比（一般要大于60%）指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比（一般大于90%）并让用户决定数据是否满足准指数规律，满足则输入1，不满足则输入0
- 如果上一步用户输入0，则程序停止；如果输入1，则继续下面的步骤。
- 让用户输入需要预测的后续期数，并判断原始数据的期数：4.1 数据期数为4：分别计算出传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型和新陈代谢GM(1,1)模型对于未来期数的预测结果，为了保证结果的稳健性，对三个结果求平均值作为预测值。4.2 数据期数为5,6或7：取最后两期为试验组，前面的n‐2期为训练组；用训练组的数据分别训练三种GM模型，并将训练出来的模型分别用于预测试验组的两期数据；利用试验组两期的真实数据和预测出来的两期数据，可分别计算出三个模型的SSE；选择SSE最小的模型作为我们建模的模型。4.3 数据期数大于7：取最后三期为试验组，其他的过程和4.2类似。
- 输出并绘制图形显示预测结果，并进行残差检验和级比偏差检验
%% 输入原始数据并做出时间序列图
clear;clc
year =[1995:1:2004]'; % 横坐标表示年份，写成列向量的形式（加'就表示转置）
x0 = [174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285]'; %原始数据序列，写成列向量的形式（加'就表示转置）
% year = [2009:2015]; % 其实本程序写成了行向量也可以，因为我怕你们真的这么写了，所以在后面会有判断。
% x0 = [730, 679, 632, 599, 589, 532, 511];
% year = [2010:2017]'; % 该数据很特殊，可以通过准指数规律检验，但是预测效果却很差
% x0 = [1.321,0.387,0.651,0.985,1.235,0.987,0.854,1.021]';
% year = [2014:2017]';
% x0 = [2.874,3.278,3.337,3.390]';
% 画出原始数据的时间序列图
figure(1); % 因为我们的图形不止一个，因此要设置编号
plot(year,x0,'o-'); grid on; % 原式数据的时间序列图
set(gca,'xtick',year(1:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
%% 因为我们要使用GM(1,1)模型，其适用于数据期数较短的非负时间序列
ERROR = 0; % 建立一个错误指标，一旦出错就指定为1
% 判断是否有负数元素
if sum(x0<0) > 0 % x0<0返回一个逻辑数组(0-1组成)，如果有数据小于0，则所在位置为1，如果原始数据均为非负数，那么这个逻辑数组中全为0，求和后也是0~
disp('亲，灰色预测的时间序列中不能有负数哦')
ERROR = 1;
end
% 判断数据量是否太少
n = length(x0); % 计算原始数据的长度
disp(strcat('原始数据的长度为',num2str(n))) % strcat()是连接字符串的函数，第一讲学了，可别忘了哦
if n<=3
disp('亲，数据量太小，我无能为力哦')
ERROR = 1;
end
% 数据太多时提示可考虑使用其他方法（不报错）
if n>10
disp('亲，这么多数据量，一定要考虑使用其他的方法哦，例如ARIMA，指数平滑等')
end
% 判断数据是否为列向量，如果输入的是行向量则转置为列向量
if size(x0,1) == 1
x0 = x0';
end
if size(year,1) == 1
year = year';
end
%% 对一次累加后的数据进行准指数规律的检验(注意，这个检验有时候即使能通过，也不一定能保证预测结果非常好，例如上面的第三组数据)
if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤
disp('------------------------------------------------------------')
disp('准指数规律检验')
x1 = cumsum(x0); % 生成1-AGO序列，cumsum是累加函数哦~ 注意：1.0e+03 *0.1740的意思是科学计数法,即10^3*0.1740 = 174
rho = x0(2:end) ./ x1(1:end-1) ; % 计算光滑度rho(k) = x0(k)/x1(k-1)
% 画出光滑度的图形，并画上0.5的直线，表示临界值
figure(2)
plot(year(2:end),rho,'o-',[year(2),year(end)],[0.5,0.5],'-'); grid on;
text(year(end-1)+0.2,0.55,'临界线') % 在坐标(year(end-1)+0.2,0.55)上添加文本
set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('原始数据的光滑度'); % 给坐标轴加上标签
disp(strcat('指标1：光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho<0.5)/(n-1)),'%'))
disp(strcat('指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho(3:end)<0.5)/(n-3)),'%'))
disp('参考标准：指标1一般要大于60%, 指标2要大于90%，你认为本例数据可以通过检验吗？')
Judge = input('你认为可以通过准指数规律的检验吗？可以通过请输入1，不能请输入0：');
if Judge == 0
disp('亲，灰色预测模型不适合你的数据哦~ 请考虑其他方法吧 例如ARIMA，指数平滑等')
ERROR = 1;
end
disp('------------------------------------------------------------')
end
%% 当数据量大于4时，我们利用试验组来选择使用传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型还是新陈代谢GM(1,1)模型； 如果数据量等于4，那么我们直接对三种方法求一个平均来进行预测
if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤
if n > 4 % 数据量大于4时，将数据分为训练组和试验组(根据原数据量大小n来取，n为5-7个则取最后两年为试验组，n大于7则取最后三年为试验组)
disp('因为原数据的期数大于4，所以我们可以将数据组分为训练组和试验组') % 注意，如果试验组的个数只有1个，那么三种模型的结果完全相同，因此至少要取2个试验组
if n > 7
test_num = 3;
else
test_num = 2;
end
train_x0 = x0(1:end-test_num); % 训练数据
disp('训练数据是: ')
disp(mat2str(train_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示, 这里加一撇表示转置，把列向量变成行向量方便观看
test_x0 = x0(end-test_num+1:end); % 试验数据
disp('试验数据是: ')
disp(mat2str(test_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示
disp('------------------------------------------------------------')
% 使用三种模型对训练数据进行训练，返回的result就是往后预测test_num期的数据
disp(' ')
disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result1 = gm11(train_x0, test_num); %使用传统的GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
disp(' ')
disp('***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result2 = new_gm11(train_x0, test_num); %使用新信息GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
disp(' ')
disp('***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result3 = metabolism_gm11(train_x0, test_num); %使用新陈代谢GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
% 现在比较三种模型对于试验数据的预测结果
disp(' ')
disp('------------------------------------------------------------')
% 绘制对试验数据进行预测的图形（对于部分数据，可能三条直线预测的结果非常接近）
test_year = year(end-test_num+1:end); % 试验组对应的年份
figure(3)
plot(test_year,test_x0,'o-',test_year,result1,'*-',test_year,result2,'+-',test_year,result3,'x-'); grid on;
set(gca,'xtick',year(end-test_num+1): 1 :year(end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
legend('试验组的真实数据','传统GM(1,1)预测结果','新信息GM(1,1)预测结果','新陈代谢GM(1,1)预测结果') % 注意：如果lengend挡着了图形中的直线，那么lengend的位置可以自己手动拖动
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
% 计算误差平方和SSE
SSE1 = sum((test_x0-result1).^2);
SSE2 = sum((test_x0-result2).^2);
SSE3 = sum((test_x0-result3).^2);
disp(strcat('传统GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE1)))
disp(strcat('新信息GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE2)))
disp(strcat('新陈代谢GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE3)))
if SSE1<SSE2
if SSE1<SSE3
choose = 1; % SSE1最小，选择传统GM(1,1)模型
else
choose = 3; % SSE3最小，选择新陈代谢GM(1,1)模型
end
elseif SSE2<SSE3
choose = 2; % SSE2最小，选择新信息GM(1,1)模型
else
choose = 3; % SSE3最小，选择新陈代谢GM(1,1)模型
end
Model = {'传统GM(1,1)模型','新信息GM(1,1)模型','新陈代谢GM(1,1)模型'};
disp(strcat('因为',Model(choose),'的误差平方和最小，所以我们应该选择其进行预测'))
disp('------------------------------------------------------------')
%% 选用误差最小的那个模型进行预测
predict_num = input('请输入你要往后面预测的期数： ');
% 计算使用传统GM模型的结果，用来得到另外的返回变量：x0_hat, 相对残差relative_residuals和级比偏差eta
[result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num); % 先利用gm11函数得到对原数据拟合的详细结果
% % 判断我们选择的是哪个模型，如果是2或3，则更新刚刚由模型1计算出来的预测结果
if choose == 2
result = new_gm11(x0, predict_num);
end
if choose == 3
result = metabolism_gm11(x0, predict_num);
end
%% 输出使用最佳的模型预测出来的结果
disp('------------------------------------------------------------')
disp('对原始数据的拟合结果：')
for i = 1:n
disp(strcat(num2str(year(i)), ' ： ',num2str(x0_hat(i))))
end
disp(strcat('往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result(i))))
end
%% 如果只有四期数据，那么我们就没必要选择何种模型进行预测，直接对三种模型预测的结果求一个平均值~
else
disp('因为数据只有4期，因此我们直接将三种方法的结果求平均即可~')
predict_num = input('请输入你要往后面预测的期数： ');
disp(' ')
disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
[result1, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num);
disp(' ')
disp('***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result2 = new_gm11(x0, predict_num);
disp(' ')
disp('***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result3 = metabolism_gm11(x0, predict_num);
result = (result1+result2+result3)/3;
disp('对原始数据的拟合结果：')
for i = 1:n
disp(strcat(num2str(year(i)), ' ： ',num2str(x0_hat(i))))
end
disp(strcat('传统GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result1(i))))
end
disp(strcat('新信息GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result2(i))))
end
disp(strcat('新陈代谢GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result3(i))))
end
disp(strcat('三种方法求平均得到的往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result(i))))
end
end
%% 绘制相对残差和级比偏差的图形(注意：因为是对原始数据的拟合效果评估，所以三个模型都是一样的哦~~~)
figure(4)
subplot(2,1,1) % 绘制子图（将图分块）
plot(year(2:end), relative_residuals,'*-'); grid on; % 原数据中的各时期和相对残差
legend('相对残差'); xlabel('年份');
set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
subplot(2,1,2)
plot(year(2:end), eta,'o-'); grid on; % 原数据中的各时期和级比偏差
legend('级比偏差'); xlabel('年份');
set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
disp(' ')
disp('****下面将输出对原数据拟合的评价结果***')
%% 残差检验
average_relative_residuals = mean(relative_residuals); % 计算平均相对残差 mean函数用来均值
disp(strcat('平均相对残差为',num2str(average_relative_residuals)))
if average_relative_residuals<0.1
disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错')
elseif average_relative_residuals<0.2
disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度达到一般要求')
else
disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度不太好，建议使用其他模型预测')
end
%% 级比偏差检验
average_eta = mean(eta); % 计算平均级比偏差
disp(strcat('平均级比偏差为',num2str(average_eta)))
if average_eta<0.1
disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错')
elseif average_eta<0.2
disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度达到一般要求')
else
disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度不太好，建议使用其他模型预测')
end
disp(' ')
disp('------------------------------------------------------------')
%% 绘制最终的预测效果图
figure(5) % 下面绘图中的符号m:洋红色 b:蓝色
plot(year,x0,'-o', year,x0_hat,'-*m', year(end)+1:year(end)+predict_num,result,'-*b' ); grid on;
hold on;
plot([year(end),year(end)+1],[x0(end),result(1)],'-*b')
legend('原始数据','拟合数据','预测数据') % 注意：如果lengend挡着了图形中的直线，那么lengend的位置可以自己手动拖动
set(gca,'xtick',[year(1):1:year(end)+predict_num]) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
gm11函数：
function [result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用传统的GM(1,1)模型对数据进行预测
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量 （注意，实际调用时该函数时不一定输出全部结果，就像corrcoef函数一样~，可以只输出相关系数矩阵，也可以附带输出p值矩阵）
% result：预测值
% x0_hat：对原始数据的拟合值
% relative_residuals： 对模型进行评价时计算得到的相对残差
% eta： 对模型进行评价时计算得到的级比偏差
n = length(x0); % 数据的长度
x1=cumsum(x0); % 计算一次累加值
z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2; % 计算紧邻均值生成数列（长度为n-1）
% 将从第二项开始的x0当成y，z1当成x，来进行一元回归 y = kx +b
y = x0(2:end); x = z1;
% 下面的表达式就是第四讲拟合里面的哦~ 但是要注意，此时的样本数应该是n-1，少了一项哦
k = ((n-1)*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
a = -k; %注意：k = -a哦
% 注意： -a就是发展系数, b就是灰作用量
disp('现在进行GM(1,1)预测的原始数据是: ')
disp(mat2str(x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示
disp(strcat('最小二乘法拟合得到的发展系数为',num2str(-a),'，灰作用量是',num2str(b)))
disp('***************分割线***************')
x0_hat=zeros(n,1); x0_hat(1)=x0(1); % x0_hat向量用来存储对x0序列的拟合值，这里先进行初始化
for m = 1: n-1
x0_hat(m+1) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*m);
end
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1: predict_num
result(i) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*(n+i-1)); % 带入公式直接计算
end
% 计算绝对残差和相对残差
absolute_residuals = x0(2:end) - x0_hat(2:end); % 从第二项开始计算绝对残差，因为第一项是相同的
relative_residuals = abs(absolute_residuals) ./ x0(2:end); % 计算相对残差，注意分子要加绝对值，而且要使用点除
% 计算级比和级比偏差
class_ratio = x0(2:end) ./ x0(1:end-1) ; % 计算级比 sigma(k) = x0(k)/x0(k-1)
eta = abs(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a)*(1./class_ratio)); % 计算级比偏差
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
new_gm11函数：
function [result] = new_gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用新信息的GM(1,1)模型对数据进行预测
% 输入变量
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量
% result：预测值
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1 : predict_num
result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中
x0 = [x0; result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
metabolism_gm11函数：
function [result] = metabolism_gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用新陈代谢的GM(1,1)模型对数据进行预测
% 输入变量
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量
% result：预测值
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1 : predict_num
result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中
x0 = [x0(2:end); result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息，并且删除了最开始的那个向量
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭