024矩阵求逆引理

  记得以前在学序贯平差的时候就用过矩阵求逆引理，但是当时只是死记，当然早就忘了。在此作个笔记记录一下引理的推导过程。
$\begin{aligned} (A+BCD)^{-1} &= A^{-1} + X \end{aligned}$

$\Downarrow \text{移项}$

$\begin{aligned} (A+BCD) (A^{-1} + X) &= E \end{aligned}$

$\Downarrow \text{展开}$

$\begin{aligned} E + AX + BCDA^{-1} + BCDX &= E \end{aligned}$

$\Downarrow \text{求解}$

$\begin{aligned} X &= -(A+BCD)^{-1}BCDA^{-1} \\ &= -[BC(C^{-1}B^{-1}A+D)]^{-1}BCDA^{-1} \\ &= -(C^{-1}B^{-1}A+D)^{-1} (BC)^{-1} BCDA^{-1} \\ &= -(C^{-1}B^{-1}A+D)^{-1} DA^{-1} \\ &= -[(C^{-1}+DA^{-1}B)B^{-1}A]^{-1} DA^{-1} \\ &= -A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1} \\ \end{aligned}$

$\Downarrow \text{代入}$

$\begin{aligned} (A+BCD)^{-1} &= A^{-1} - A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1} \end{aligned}$

  记住这种表示方式： $\begin{aligned} (A+BCD)^{-1} &= A^{-1} + X \end{aligned}$，这样只需求解 $X$便可推导出结论。
  提取相同矩阵时，为了便于理解也可以一个一个往外提取。
  另外可以这样记忆第二项：

$A^{-1}B$ ( $C^{-1}$ $+DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1}$

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$A^{-1}B$ $(C^{-1}+D$ $A^{-1}B$ $)^{-1} DA^{-1}$

$A^{-1}B (C^{-1} +$ $DA^{-1}$ $B)^{-1}$ $DA^{-1}$

  如果对类似的形式推导求逆引理，例如 $(A-BC^{-1}D)^{-1}$，可以类比得到：

$(A-BC^{-1}D)^{-1} = A^{-1} + A^{-1}B(C-DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1}$

  用同样的方法也可求得：

$(A+BC^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}B(I+C^TA^{-1}B)^{-1} C^TA^{-1}$

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参考：

矩阵求逆引理(matrix inversion lemma)