【数据结构】哈夫曼树及哈夫曼编码实现（C语言）

1. 哈夫曼树

1.1 基本概念

路径：指从根结点到该结点的分支序列。
路径长度：指根结点到该结点所经过的分支数目。
结点的带权路径长度：从树根到某一结点的路径长度与该结点的权的乘积。
树的带权路径长度(WPL)：树中从根到所有叶子结点的各个带权路径长度之和。
哈夫曼树是由 n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树，又称最优二叉树。如上图中第三棵树就是一棵哈夫曼树。

1.2 构造哈夫曼树

构造哈夫曼树的算法步骤：
① 初始化：用给定的 n 个权值{w1,w2,…,wn}构造 n 棵二叉树并构成的森林F={T1,T2,…,Tn}，其中每一棵二叉树Ti（1<=i<=n）都只有一个权值为 wi 的根结点，其左、右子树为空。
② 找最小树：在森林 F 中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其左、右子树的根结点权值之和。
③ 删除与加入：从 F 中删除被选中的那两棵二叉树，同时把新构成的二叉树加入到森林 F 中。
④ 判断：重复②、③操作，直到森林中只含有一棵二叉树为止，此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
简单的说就是先选择权小的，所以权小的结点被放置在树的较深层，而权较大的离根较近，这样一来所构成的哈夫曼树就具有最小带权路径长度。

例如给定5个权值{2，3，5，7，8}，构造过程如下：
注意：由于未规定左右子树顺序，因此哈夫曼树不唯一，但树的最小带权路径长度唯一。如下图两棵树都是根据5个权值{2，3，5，7，8}构造的哈夫曼树：

1.3 哈夫曼树的类型定义

哈夫曼树是一种二叉树，其中没有度为1的结点，因此一棵有 n 个叶子的哈夫曼树共有 2n-1 个结点，可以用一个大小为 2n-1 的一维数组来存放哈夫曼树的各个结点。由于每个结点同时还包含其双亲信息和孩子结点的信息，所以构成一个静态三叉链表。

/*哈夫曼树的类型定义*/
# define N 30						//叶子结点的最大值
# define M 2 * N - 1				//所有结点的最大值

typedef struct {
    
    
	int weight;						//结点的权值
	int parent;						//双亲的下标
	int LChild;						//左孩子结点的下标
	int RChild;						//右孩子结点的下标
}HTNode, HuffmanTree[M + 1];		//HuffmanTree是一个结构数组类型，0号单元不用

1.4 哈夫曼树创建的算法实现

基于上文中的构造哈夫曼树的步骤，代码如下：

/*在ht[1]至ht[n]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋给s1，s2*/
void Select(HuffmanTree ht, int n, int* s1, int* s2) {
    
    
	int i, min1 = MAX, min2 = MAX;
	*s1 = 0;
	*s2 = 0;
	for (i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		if (ht[i].parent == 0) {
    
    
			if (ht[i].weight < min1) {
    
    
				min2 = min1;
				*s2 = *s1;
				min1 = ht[i].weight;
				*s1 = i;
			}
			else if (ht[i].weight < min2) {
    
    
				min2 = ht[i].weight;
				*s2 = i;
			}
		}
	}
}

/*创建哈夫曼树算法*/
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree ht, int w[], int n) {
    
    
//构造哈夫曼树ht[M+1],w[]存放n个权值
	int i;
	for (i = 1; i <= n; i++) {
    
    		//1至n号单元存放叶子结点，初始化
		ht[i].weight = w[i - 1];
		ht[i].parent = 0;
		ht[i].LChild = 0;
		ht[i].RChild = 0;
	}
	int m = 2 * n - 1;				//所有结点总数
	for (i = n + 1; i <= m; i++) {
    
    	//n+1至m号单元存放非叶结点，初始化
		ht[i].weight = 0;
		ht[i].parent = 0;
		ht[i].LChild = 0;
		ht[i].RChild = 0;
	}

	/*初始化完毕，开始创建非叶结点*/
	int s1, s2;
	for (i = n + 1; i <= m; i++) {
    
    	//创建非叶结点，建哈夫曼树
		Select(ht, i - 1, &s1, &s2);//在ht[1]至ht[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋给s1，s2
		ht[i].weight = ht[s1].weight + ht[s2].weight;
		ht[s1].parent = i;
		ht[s2].parent = i;
		ht[i].LChild = s1;
		ht[i].RChild = s2;
	}
}

2. 哈夫曼编码实现

2.1 哈夫曼编码

对一棵具有n个叶子结点的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋0，右分支赋1（或左1右0），则从根到每个叶子的通路上，各个分支的赋值分别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。哈夫曼编码是最优前缀编码，能使各种报文对应的二进制串的平均长度最短。

例如要传送数据“state,seat,act,tea,cat,set,a,eat”，先统计各个字符出现的次数：

字符	c	s	e	a	t
字符出现的次数	2	3	5	7	8

将出现次数当作权构造哈夫曼树，并按左0右1规则对分支赋值：
则各字符的哈夫曼编码为：

字符	c	s	e	a	t
字符出现的次数	2	3	5	7	8
哈夫曼编码	010	011	00	10	11

可以看出使用频率越高的字符编码长度越短。

哈夫曼编码的代码实现：

/*哈夫曼编码*/
void CrtHuffmanCode(HuffmanTree ht, int n) {
    
    
//从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点(共n个)对应的哈夫曼编码
	char* cd;
	cd = (char*)malloc(n * sizeof(char));	//分配当前编码的工作空间
	cd[n - 1] = '\0';						//从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    			//求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
		int start = n - 1, c = i, p = ht[i].parent;
		while (p != 0) {
    
    
			--start;
			if (ht[p].LChild == c)			//左分支标0
				cd[start] = '0';
			else
				cd[start] = '1';			//右分支标1
			c = p;							//向上倒堆
			p = ht[p].parent;
		}
		for (int j = 0; j < n; j++) {
    
    
			if (cd[j] == '0' || cd[j] == '1') {
    
    
				printf("%c", cd[j]);		//编码输出
			}
		}
		memset(cd, 0, n);
	}
}

2.2 完整代码

/*哈夫曼树及哈夫曼编码实现*/

# include<stdio.h>
# include<malloc.h>
# include<string.h>
# define N 30						//叶子结点的最大值
# define M 2 * N - 1				//所有结点的最大值
# define MAX 99999

/*哈夫曼树的类型定义*/
typedef struct {
    
    
	int weight;						//结点的权值
	int parent;						//双亲的下标
	int LChild;						//左孩子结点的下标
	int RChild;						//右孩子结点的下标
}HTNode, HuffmanTree[M + 1];		//HuffmanTree是一个结构数组类型，0号单元不用

HuffmanTree ht;

/*在ht[1]至ht[n]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋给s1，s2*/
void Select(HuffmanTree ht, int n, int* s1, int* s2) {
    
    
	int i, min1 = MAX, min2 = MAX;
	*s1 = 0;
	*s2 = 0;
	for (i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		if (ht[i].parent == 0) {
    
    
			if (ht[i].weight < min1) {
    
    
				min2 = min1;
				*s2 = *s1;
				min1 = ht[i].weight;
				*s1 = i;
			}
			else if (ht[i].weight < min2) {
    
    
				min2 = ht[i].weight;
				*s2 = i;
			}
		}
	}
}

/*创建哈夫曼树算法*/
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree ht, int w[], int n) {
    
    
//构造哈夫曼树ht[M+1],w[]存放n个权值
	int i;
	for (i = 1; i <= n; i++) {
    
    		//1至n号单元存放叶子结点，初始化
		ht[i].weight = w[i - 1];
		ht[i].parent = 0;
		ht[i].LChild = 0;
		ht[i].RChild = 0;
	}
	int m = 2 * n - 1;				//所有结点总数
	for (i = n + 1; i <= m; i++) {
    
    	//n+1至m号单元存放非叶结点，初始化
		ht[i].weight = 0;
		ht[i].parent = 0;
		ht[i].LChild = 0;
		ht[i].RChild = 0;
	}

	/*初始化完毕，开始创建非叶结点*/
	int s1, s2;
	for (i = n + 1; i <= m; i++) {
    
    	//创建非叶结点，建哈夫曼树
		Select(ht, i - 1, &s1, &s2);//在ht[1]至ht[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋给s1，s2
		ht[i].weight = ht[s1].weight + ht[s2].weight;
		ht[s1].parent = i;
		ht[s2].parent = i;
		ht[i].LChild = s1;
		ht[i].RChild = s2;
	}
}

/*哈夫曼编码*/
void CrtHuffmanCode(HuffmanTree ht, int n, char str[]) {
    
    
//从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点(共n个)对应的哈夫曼编码
	char* cd;
	cd = (char*)malloc(n * sizeof(char));	//分配当前编码的工作空间
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    			//求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
		int start = n - 1, c = i, p = ht[i].parent;
		while (p != 0) {
    
    
			--start;
			if (ht[p].LChild == c)			//左分支标0
				cd[start] = '0';
			else
				cd[start] = '1';			//右分支标1
			c = p;							//向上倒堆
			p = ht[p].parent;
		}
		printf("%c的编码：", str[i - 1]);
		for (int j = 0; j < n; j++) {
    
    
			if (cd[j] == '0' || cd[j] == '1') {
    
    
				printf("%c", cd[j]);		//编码输出
			}
		}
		printf("\n");
		memset(cd, -1, n);
	}
}

int main() {
    
    
	int i, w[5] = {
    
     2,3,5,7,8 };
	char str[5] = {
    
     'c','s','e','a','t' };
	CrtHuffmanTree(ht, w, 5);
	printf("哈夫曼树各结点值：\n");
	for (i = 1; i <= 9; i++)
		printf("%d ", ht[i].weight);
	printf("\n");
	CrtHuffmanCode(ht, 5, str);
	return 0;
}

2.3 运行结果

参考：耿国华《数据结构——用C语言描述（第二版）》

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