1.单自由度系统无阻尼自由振动
图1-1 单自由度系统
单自由度系统如图1-1所示，设x为质量块位置，以质量块静平衡位置为原点，λ为静变形，当受到初始扰动时，有牛顿第二定律，得：
(1-1)
由于静平衡位置有：
(1-2)
可得自由振动微分方程：
(1-3)
设
，可得：
(1-4)
式(1-4)为二阶常系数齐次线性微分方程，通解形式为
，c,s为待定系数。将通解代入式(1-4)，可得特征方程：
(1-5)
解此特征方程，可得特征根s1,2=±iω0；通解可写成：
进一步利用欧拉公式：
(1-6)
式(1-6)中A代表单自由度系统无阻尼自由振动的振幅，φ代表初始相位。
(1-7)
固有频率ω0为系统固有数值特征，与系统是否振动以及如何振动无关。
振幅A与初相位φ为非系统固有数字特征，与系统所受激励和初始状态有关。
考虑零时刻初始条件，零时刻位移：
零时刻速度
，代入(1-6)式有：
单自由度系统零初始条件下自由振动：
(1-8)
由式(1-8)可知，振动解是正弦项和余弦项的叠加。因此，无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
对于初始条件，可以认为是外界能量传入了系统，初始位移即传入了弹性势能，初始速度即传入了动能。
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