Chapter2.3：控制系统的数学模型

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
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第二章：控制系统的数学模型

Example 2.21

若已知系统信号流图上从源节点$R(s)$到阱节点$C(s)$的增益为
$$p=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{ah(1-cf-dg)}{(1-be)(1-dg)-cf}$$
式中的字母分别表示各支路增益，绘制相应的信号流图.

解：

由于
$$p=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{ah(1-cf-dg)}{(1-be)(1-dg)-cf}$$
通过分析源节点$R(s)$到阱节点$C(s)$的增益，可知本系统有一条前向通道，三个单独回路，一对互不接触回路，即：
$$L_1=be,L_2=dg,L_3=cf$$
其中$L_1、L_2$互不接触，$L_1{L}_2=bedg$.
$$\begin{array}{rl}& \Delta =1-(L_1+L_2+L_3)+L_1{L}_2=(1-be)(1-dg)-cf\\ & p_1=ah，L_2、L_3与p_1不接触，{\Delta }_1=1-cf-dg\end{array}$$
则系统信号流图如下图所示：

Example 2.22

直流位置随动系统如下图a所示，已知放大器增益$K_a=10$，减速齿轮的齿数$z_1=20，z_2=50$.当输入轴${\theta }_i(t)=10\times 1(t)$时，实验测得误差电压$u_s(t)$的曲线如图b所示.当输入轴${\theta }_i(t)=60\times t$时，实验测得稳态误差电压$u_s(\infty )=0.145$.

要求：

1. 画出系统的结构图；
2. 求出电位器误差检测器传递系数$K_1$，直流电动机的传递函数$K_m$和时间常数$T_m$；

解：

1. 系统结构图。

   • 电位器误差检测器：由于误差电压与失调角$\Delta \theta ={\theta }_i-{\theta }_o$成比例，则：$u_s=K_1\Delta \theta$.
   • 放大器：输入为$u_s$，输出为$u_a$，则：$u_a=K_a{u}_s$.
   • 直流电动机：输入为电枢电压$u_a$，输出为电机的转角${\theta }_m$，则：$\frac{{\theta }_m(s)}{u_a(s)}=\frac{K_m}{s(T_{m}s+1)}$.
   • 齿轮传动装置：输入为电机转角${\theta }_m$，输出为负载角位移${\theta }_o$，则：${\theta }_o=\frac{{\theta }_m}{i}$，其中：$i=\frac{z_2}{z_1}=2.5$为齿轮减速比.

   系统结构图：
   

2. 参数求解。

   根据系统结构图可得，系统开环传递函数为：
   $$G(s)=\frac{K_1{K}_a{K}_m}{is(T_{m}s+1)}=\frac{4K_1{K}_m}{s(T_{m}s+1)}$$
   当输入轴：${\theta }_i(t)=60t$时，$K_v=\underset{s\to 0}{\lim }sG(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{4K_1{K}_m}{T_{m}s+1}=4K_1{K}_m$，则：
   $$\Delta {\theta }_{ssv}(\infty )=\frac{60}{K_v}=\frac{15}{K_1{K}_m}$$
   此时：
   $$u_s(\infty )=K_1\cdot \Delta {\theta }_{ssv}(\infty )=\frac{15}{K_m}=0.145$$
   解得：
   $$K_m=\frac{15}{0.145}=103.45$$
   当输入轴：${\theta }_i(t)=10\times 1(t)$时，由图可知：
   $$u_s(0)=0.35=10\cdot K_1$$
   则
   $$K_1=0.035$$
   由于$\Delta \theta =u_s/K_1$，其误差角度概略曲线如下图a所示，输入轴${\theta }_i(t)=10\times 1(t)$时，由于$\Delta \theta ={\theta }_i-{\theta }_o$，可得系统的输出角度曲线如下图b所示：
   

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   由输出角度曲线可得：
   $$\begin{array}{rl}& \sigma \%=\frac{11.714-10}{10}\times 100\%=17.14\\ & \\ & G(s)=\frac{4K_1{K}_m}{s(T_{m}s+1)}=\frac{14.483/T_m}{s^2+s/T_m}=\frac{{\omega }_n^2}{s(s+2\zeta {\omega }_n)}\\ & \\ & {\omega }_n=\sqrt{\frac{14.483}{T_m}}，\zeta =\frac{1/T_m}{2{\omega }_n}=\frac{1}{7.61\sqrt{T_m}}\\ & \\ & \sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%=17.14\%\Rightarrow \zeta =0.49\\ & \\ & T_m={\left(\frac{1}{7.61\zeta }\right)}^2=0.072\end{array}$$
   故电位器误差检测器传递系数：$K_1=0.035$，直流电动机的传递系数：$K_m=103.45$，直流电动机的时间常数：$T_m=0.072$.

3. 系统时间相应曲线。
   

Example 2.23

设皮带轮传动系统如下图所示，图中，皮带作恒速运动，皮带上有一重物，重物左端接有一弹簧，弹簧左端固定，重物和皮带间有摩擦.假定初始状态时皮带不转，一旦皮带启动，瞬间达到恒速.讨论皮带启动后，重物的运动规律.

解：

1. 分析运动规律。

   • 皮带启动后，相对于作恒速运动的皮带，重物$M$始终向左运动，因此摩擦力$f$方向向右.相对于地面，重物$M$的运动规律为一振荡过程，每个振荡周期内的运动规律如下：
   • 开始时，摩擦力$f$大于弹簧对重物的拉力，重物$M$向右作加速运动，由于弹簧不断被拉长使得弹簧的拉力不断加大，因此这段时间重物$M$向右作加速度减小的加速运动.当弹簧对重物的拉力等于摩擦力$f$时，重物$M$向右的速度达到最大值.
   • 然后，当摩擦力小于弹簧对重物的拉力时，重物$M$向右作减速运动，由于弹簧仍然处于不断被拉长的阶段，因此这段时间重物$M$向右作加速度增加的减速运动.当重物$M$的速度减为零时，弹簧的拉力达到最大值.
   • 接着，重物$M$向左作加速运动，由于弹簧不断回缩使得弹簧的拉力不断减小，因此这段时间重物$M$向左作减速度减小的加速运动.当弹簧对重物的拉力再次等于摩擦力$f$时，重物$M$向左的速度达到最大值.
   • 最后，摩擦力$f$大于弹簧对重物的拉力，重物$M$向左作减速运动，由于弹簧仍然处于不断回缩的阶段，因此这段时间重物$M$向左作加速度增加的减速运动.当重物$M$的速度减为零时，弹簧恢复原状，重物也回到起始点，准备下一个振荡过程.

2. 建立运动模型。

   运动模型为：
   $$f-Kx=M\ddot{x}$$
   对上式进行拉普拉斯变换，有：
   $$f-KX(s)=s^{2}MX(s)$$
   即：
   $$X(s)=\frac{f}{M{s}^2+K}$$

3. 运动规律示意图。$(M=1,K=0.5,f=2)$
   

Example 2.24

已知直流电动机调速系统的原理图如下图所示，图中：$u_1$为参考电压；$u_2$为放大器输出电压，$u_2=K_1\Delta u，\Delta u=u_1-u_3$；$i$为电动机电枢电流；$M$为电动机电磁转矩，$M=C_{m}i$；$\omega$为电动机转速；$E$为电动机电枢反电势，$E=C_e\omega$；$K_1$为放大器增益；$R$为电枢电路电阻；$L$为电枢电路电感；$J$为电动机轴上转动惯量；$f$为电动机轴上黏性摩擦系数；$u_3$为测速发电机输出电压，$u_3=K_3\omega$.绘制系统结构图，并求系统传递函数$\Omega (s)/U_1(s)$.

解：

各环节关系式：

• 误差检测器：$\Delta u=u_1-u_3$；
• 放大器：$u_2=K_1\Delta u$；
• 电枢回路电压平衡方程：$Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+E=u_2$；
• 电动机电枢反电势：$E=C_e\omega$；
• 电机轴上的力矩平衡方程：$J\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}+f\omega =M$；
• 测速发电机：$u_3=K_3\omega$；

系统结构图：

系统传递函数：
$$\begin{array}{rl}\frac{\Omega (s)}{U_1(s)}& =\frac{\frac{K_1\cdot C_m}{(Ls+R)(Js+f)}/\left[1+\frac{C_m{C}_e}{(Ls+R)(Js+f)}\right]}{1+K_1{K}_3\cdot \left[\frac{C_m}{(Ls+R)(Js+f)}\right]/\left[1+\frac{C_m{C}_e}{(Ls+R)(Js+f)}\right]}\\ & \\ & =\frac{C_m{K}_1}{(Ls+R)(Js+f)+C_m{C}_e+C_m{K}_1{K}_3}\end{array}$$

Example 2.25

系统结构图如下图所示，求传递函数$Z(s)/R(s)$.

解：

系统的传递函数为：
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G_1{G}_2{G}_3{G}_4}{(1+G_2{H}_1)(1+G_4{H}_3+G_3{G}_4{H}_2)}$$
可得：
$$\frac{Z(s)}{R(s)}=\frac{H_{2}C(s)}{R(s)}=\frac{G_1{G}_2{G}_3{G}_4{H}_2}{(1+G_2{H}_1)(1+G_4{H}_3+G_3{G}_4{H}_2)}$$

Example 2.26

设系统的脉冲响应函数为
$$g(t)=\{\begin{array}{ll}5{\mathrm{e}}^{-t}，& t\ge 0\\ 0，& t<0\end{array}$$
系统输入量$r(t)$的形式如下图a.求该系统在$r(t)$作用下的输出表达式$c(t)$，并画出$c(t)$大致图形.

解：

系统传递函数为：
$$G(s)=L[g(t)]=\frac{5}{s+1}$$
系统输入量$r(t)$在$0～1$时刻的单位阶跃输入，则：
$$C(s)=G(s)\cdot R(s)=\frac{5}{s(s+1)}=\frac{5}{s}-\frac{5}{s+1}$$
即
$$c(t)=L^{-1}\left[\frac{5}{s}-\frac{5}{s+1}\right]=5-5{\mathrm{e}}^{-t}，t\in [0,1]$$
当$t=1$时，$c(1)=5-5{\mathrm{e}}^{-1}=3.16$.

当$t=1～\infty$时，系统输出为初始状态是$3.16$的零输入响应：
$$c(t)=L^{-1}\left[\frac{1}{s+1}\right]c(1)=3.16\cdot {\mathrm{e}}^{-t},t\in [1,\infty )$$
则系统输出为：
$$c(t)=\{\begin{array}{ll}5-5{\mathrm{e}}^{-t},& t\in [0,1]\\ 3.16{\mathrm{e}}^{-t},& t\in [1,\infty )\end{array}$$
$c(t)$图形大致如上图b所示.

Example 2.27

关联系统的结构图和信号流图如下图所示，确定传递函数$C_1(s)/R_1(s)、C_1(s)/R_2(s)、C_2(s)/R_1(s)$和$C_2(s)/R_2(s)$.

解：

【$C_1(s)/R_1(s)$】

由系统信号流图可知，系统有一条前向通道，三个单独回路，有一对不接触回路，即
$$L_1=-a_{11}{G}_1(s)，L_2=-a_{22}{G}_2(s)，L_3=a_{12}{a}_{21}{G}_1(s)G_2(s)$$
其中$L1、L_2$互不接触，$L_1{L}_2=a_{11}{a}_{22}{G}_1(s)G_2(s)$.
$$\begin{array}{rl}& \Delta =1-(L_1+L_2+L_3)+L_1{L}_2=1+a_{11}{G}_1(s)+a_{22}{G}_2(s)+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})G_1(s)G_2(s)\\ & p_1=G_1(s)，L_2与p_1不接触，{\Delta }_1=1+a_{22}{G}_2(s)\end{array}$$
由梅森增益公式可得传递函数：
$$\frac{C_1(s)}{R_1(s)}=\frac{\sum p_i{\Delta }_i}{\Delta }=\frac{G_1(s)[1+a_{22}{G}_2(s)]}{1+a_{11}{G}_1(s)+a_{22}{G}_2(s)+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})G_1(s)G_2(s)}$$
【$C_1(s)/R_2(s)$】

系统前向通道为：
$$p_1=-a_{21}{G}_1(s)G_2(s)，{\Delta }_1=1$$
传递函数为：
$$\frac{C_1(s)}{R_2(s)}=\frac{\sum p_i{\Delta }_i}{\Delta }=\frac{-a_{21}{G}_1(s)G_2(s)}{1+a_{11}{G}_1(s)+a_{22}{G}_2(s)+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})G_1(s)G_2(s)}$$
【$C_2(s)/R_1(s)$】

系统前向通道为：
$$p_1=-a_{12}{G}_1(s)G_2(s)，\Delta =1$$
传递函数为：
$$\frac{C_2(s)}{R_1(s)}=\frac{\sum p_i{\Delta }_i}{\Delta }=\frac{-a_{12}{G}_1(s)G_2(s)}{1+a_{11}{G}_1(s)+a_{22}{G}_2(s)+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})G_1(s)G_2(s)}$$
【$C_2(s)/R_2(s)$】

系统前向通道为：
$$p_1=G_2(s)，L_1与p_1不接触，{\Delta }_1=1+a_{11}{G}_1(s)$$
传递函数为：
$$\frac{C_1(s)}{R_2(s)}=\frac{\sum p_i{\Delta }_i}{\Delta }=\frac{G_2(s)[1+a_{11}{G}_1(s)]}{1+a_{11}{G}_1(s)+a_{22}{G}_2(s)+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})G_1(s)G_2(s)}$$