Chapter8.1：控制系统校正与综合基础

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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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1.控制系统校正与综合基础

1.1 控制系统性能指标

1.1.1 性能指标概述

• 控制系统的性能指标按照类型，可分为：

  • 时域性能指标：稳态性能指标和动态性能指标；
  • 频域性能指标：开环频域指标和闭环频域指标；

• 控制系统性能指标分类如下：

  

• 如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间等时域特征量给出，一般采用根轨迹法进行设计；

• 如果性能指标以相角裕度、幅值裕度等频域特征量给出，一般采用频域法进行设计；

1.1.2 二阶系统频域指标与时域指标的关系

• 超调量${\sigma }_p$：
  $${\sigma }_p={\mathrm{e}}^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%$$

• 调节时间$t_s$：
  $$t_s=\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}，{\omega }_c{t}_s=\frac{7}{\tan \gamma }$$

• 上升时间$t_r$：
  $$t_r=\frac{\pi -\arctan (\sqrt{1-{\zeta }^2}/\zeta )}{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

• 谐振峰值$M_r$：
  $$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}，0\le \zeta \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$

• 谐振频率${\omega }_r$：
  $${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$$

• 闭环截止频率${\omega }_b$：
  $${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2+\sqrt{2-4{\zeta }^2+2{\zeta }^4}}$$

• 相角裕度$\gamma$：
  $$\gamma =\arctan \frac{2\zeta }{\sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}}$$

• 开环截止频率${\omega }_c$：
  $${\omega }_c={\omega }_n\sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^4}-2{\zeta }^2}$$

1.2 控制系统校正概述

1.2.1 无源超前网络

• 如果输入信号源的内阻为零，且输出端的负载阻抗为无穷大，则超前网络的传递函数为：
  $$a{G}_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}$$
  其中：
  $$a=\frac{R_1+R_2}{R_2}>1，T=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}C$$
  $a$称为分度系数，$T$称为时间常数；

  采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降为原来的$\frac{1}{a}$，因此需要提高放大器增益加以补偿；

• 改变$a、T$的数值，超前网络的零、极点可在$s$平面的负实轴上任意移动；

• 无源超前网络$a{G}_c(s)$的对数频率特性如下：

  

  • 超前网络对频率在$1/(aT)$至$1/T$之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前；

  • 在最大超前角频率${\omega }_m$处，具有最大超前角${\phi }_m$，且${\omega }_m$正好处于频率$1/(aT)$和$1/T$的几何中心；

  • 相关证明：
    $${\phi }_c(\omega )=\arctan aT\omega -\arctan T\omega =\arctan \frac{(a-1)T\omega }{1+a{T}^2{\omega }^2}$$
    对$\omega$求导并令其为零，可得最大超前角频率：
    $${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}$$
    根据条件，求最大超前角：
    $${\phi }_m=\arctan \frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin \frac{a-1}{a+1}$$
    最大超前角${\phi }_m$仅与分度系数$a$有关；$a$值越大，超前网络的微分效应越强；为了保持较高的系统信噪比，实际选用的$a$值一般不超过20；

    ${\omega }_m$处的对数幅频值：
    $$L_c({\omega }_m)=20\lg |a{G}_c(\mathrm{j}{\omega }_m)|=10\lg a$$

1.2.2 无源滞后网络

• 如果输入信号源的内阻为零，负载阻抗为无穷大，滞后网络的传递函数为：
  $$G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}$$
  其中：
  $$b=\frac{R_2}{R_1+R_2}<1，T=(R_1+R_2)C$$
  $b$称为滞后网络的分度系数，表示滞后深度；

• 滞后网络在频率$1/T$至$1/(bT)$之间呈积分效应，对数相频特性成滞后特性；

• 最大滞后角${\phi }_m$发生在最大滞后角频率${\omega }_m$处，且${\omega }_m$正好是$1/T$与$1/(bT)$的几何中心；

• 计算${\omega }_m、{\phi }_m$的公式：
  $${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{b}}，{\phi }_m=\arcsin \frac{1-b}{1+b}$$

• 滞后网络对低频有用信号不产生衰减，对高频噪声信号有削弱作用，$b$值越小，通过网络的噪声电平越低；

• 采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度；因此，力求避免最大滞后角发生在已校正系统开环截止频率${\omega }_c^{\prime \prime }$附近；选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率$1/(bT)$远小于${\omega }_c^{\prime \prime }$，一般取：
  $$\frac{1}{bT}=\frac{{\omega }_c^{\prime \prime }}{10}$$

1.2.3 无源滞后-超前网络

• 无源滞后-超前传递函数：
  $$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{T_a{T}_b{s}^2+(T_a+T_b+T_{ab})s+1}$$
  其中：
  $$T_a=R_1{C}_1,T_b=R_2{C}_2,T_{ab}=R_1{C}_2$$
  上式可写为：
  $$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{(1+T_{1}s)(1+T_{2}s)}$$
  比较式(9)和式(10)，可得：
  $$T_1{T}_2=T_a{T}_b，T_1+T_2=T_a+T_b+T_{ab}$$
  设
  $$T_1>T_a，\frac{T_a}{T_1}=\frac{T_2}{T_b}=\frac{1}{\alpha }，\alpha >1$$
  则有：
  $$T_1=\alpha T_a,T_2=\frac{T_2}{\alpha }$$
  无源滞后-超前网络的传递函数最终形式：
  $$G_c(s)=\frac{(1+T_{a}s)(1+T_{b}s)}{(1+\alpha T_{a}s)(1+\frac{T_b}{\alpha }s)}$$
  其中：$(1+T_{a}s)/(1+\alpha T_{a}s)$为网络的滞后部分；$(1+T_{b}s)/(1+T_{b}s/\alpha )$为网络的超前部分；

1.2.4 串联校正和反馈校正

• 串联校正：校正装置一般接在误差测量点后放大器前，串接于系统前向通道之中；
• 反馈校正：校正装置接在系统局部反馈通路之中；

1.2.5 前馈校正

• 前馈校正(顺馈校正)：在系统主反馈回路之外采用的校正方式；前馈校正装置接在系统给定值后及主反馈作用点前的前向通道上；
• 图$(\mathrm{a})$：这种校正装置作用相当于对给定值信号进行整形或滤波后，再送入反馈系统，因此亦称前置滤波器；
• 图$(\mathrm{b})$：这种校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或间接测量，经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道；

1.2.6 复合校正

• 复合校正：在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成一个有机整体，结构如下图两种形式。