Z变换

  由于 $DTFT$变换是有收敛条件的，并且其收敛条件比较严格，很多信号不能够满足条件，为了有效的分析信号，需要放宽收敛的条件，引入 $Z$变换。

定义

  已知序列的 $DTFT$为
$X(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jwn}$
当序列 $x[n]$不满足收敛条件时，我们让 $x[n]$乘以 $r^{-n}$使它收敛
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]r^{-n}e^{-jwn}$
令 $z=re^{jw}$得到
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$
对于所有的 $z$上式不一定收敛，所以 $Z$变换是有其收敛域，所以在对一个信号进行 $Z$变换时，一定要加上它的收敛域，因为对于一些不同的信号，它们的 $Z$变换相同，但是它们的收敛域不同。仅仅由 $Z$变换的表达式并不能完全的确定原信号，要加上它的收敛域才能完全的确定原信号。

例:求序列 $x[n]=\alpha^n\mu[n]$的 $Z$变换。
解:
$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha^nz^{-n}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}$
要使上式收敛，则必须满足 $\vert\alpha z^{-1}\vert<1$,即收敛域为 $\vert z\vert>\vert \alpha\vert$。
所以序列 $x[n]=\alpha^n\mu[n]$的 $Z$变换为
$X(z)=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}},\vert z\vert>\vert \alpha\vert$

例:求序列 $x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]$的 $Z$变换。
解:
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}-\alpha^nz^{-n}=-\sum_{m=1}^{\infty}(\alpha^{-1}z)^{m}=-\frac{\alpha^{-1}z}{1-\alpha^{-1}z}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}$
要使上式收敛，则需要满足 $\vert\alpha^{-1}z\vert<1$,即收敛域为 $\vert z\vert < \vert \alpha \vert$
所以序列 $x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]$的 $Z$变换为
$X(z)=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}},\vert z\vert < \vert \alpha \vert$


  由上面两例可知，序列 $x[n]=\alpha^n\mu[n]$的 $Z$变换的表达式与序列 $x[n]=-\alpha^n\mu[-n-1]$的 $Z$变换的表达式是一样的，但是它们的收敛域是完全不一样的，如果只给出其 $Z$变换的表达式，是不能判断其原信号是什么的。

$Z$变换的性质

  设序列 $x[n]$的 $Z$变换为 $X(z)$,其收敛域为 $R_{x-}<\vert z\vert <R_{x+}$,序列 $w[n]$的 $Z$变换为 $W(z)$,其收敛域为 $R_{w-}<\vert z\vert <R_{w+}$。

线性性质

  设 $y[n]=\alpha x[n]+\beta w[n]$,则其 $Z$变换为
$\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\alpha x[n]+\beta w[n])z^{-n}\\ &=\alpha\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}+\beta\sum_{n=-\infty}^{\infty}w[n]z^{-n}\\ &=\alpha X(z)+\beta W(z) \end{aligned}$
其收敛域为 $max\{R_{x-},R_{w-}\}<\vert z\vert <min\{R_{x+},R_{w+}\}$

时移性质

  序列 $y[n]=x[n-n_0]$的 $Z$变换为
$\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-n_0]z^{-n}\\ &\xrightarrow{m=n-n_0}z^{-n_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\\ &=z^{-n_0}X(z) \end{aligned}$
除了其收敛域可能包含 $0$或者 $\infty$,与原收敛域相同。

乘以指数序列

  序列 $y[n]=\alpha^nx[n]$的 $Z$变换为
$\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha^nx[n]z^{-n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](z\alpha^{-1})^{-n}\\ &=X(\frac{z}{\alpha}) \end{aligned}$
其收敛域为 $\vert \alpha \vert R_{x-}< \vert z\vert < \vert \alpha \vert R_{x+}$

反褶

  序列 $y[n]=x[-n]$的 $Z$变换为
$\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[-n]z^{-n}\\ &\xrightarrow{m=-n}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](\frac{1}{z})^{-n}\\ &=X(\frac{1}{z}) \end{aligned}$
其收敛域为 $\cfrac{1}{R_{x+}}<\vert z\vert < \cfrac{1}{R_{x-}}$

共轭

  序列 $y[n]=x^{*}[n]$的 $Z$变换为
$\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{*}[n]z^{-n}\\ &=(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n](z^{*})^{-n})^{*}\\ &=X^{*}(z^{*}) \end{aligned}$
其收敛域未发生改变，因为 $\vert z\vert = \vert z^{*}\vert$

时域微分

  由于
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$
所以
$\frac{dX(z)}{dz}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n-1}\Rightarrow-z\frac{dX(z)}{dz}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}nx[n]z^{-n}$
所以序列 $y[n]=nx[n]$的 $Z$变换为
$Y(z)=-z\frac{dX(z)}{dz}$
其收敛域可能去掉 $0$或者 $\infty$，其余不变。

卷积

  序列 $y[n]=x[n]*w[n]$的 $Z$变换为
$\begin{aligned} Y(z)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]w[n-m]z^{-n}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\sum_{n=-\infty}^{\infty}w[n-m]z^{-n}\\ &\xrightarrow{l=n-m}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\sum_{l=-\infty}^{\infty}w[l]z^{-l}\\ &=X(z)Y(z) \end{aligned}$
其收敛域为
$max\{R_{x-},R_{w-}\}<\vert z\vert <min\{R_{x+},R_{w+}\}$
有时 $X(z)$与 $W(z)$的零极点可能会互相抵消，所以收敛域可能会比这个大。