[线性代数]矩阵的加、减、乘、幂运算

(1) 矩阵的加法和减法

矩阵的加法和减法就是将两个矩阵对应位置上的数相加减。因此，相加减的两个矩阵 $\mathrm{A}，B$ 的行列必须相同。

(2) 矩阵乘法

二阶矩阵乘法示例：
$$\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$$

$A,B,C$ 是三个矩阵，若 $A\times B=C$ ，需要满足:

• $A$ 的列数必须和 $B$ 的行数相等；
• 设 $A$ 是一个 $n\times r$ 的矩阵， $B$ 是一个 $r\times m$ 的矩阵，则矩阵 $A$ 乘矩阵 $B$ 的乘积 $C$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵;
• $C_{(i,j)}=A_{(i,1)}\times B_{(1,j)}+A_{(i,2)}\times B_{(2,j)}+\dots A_{(r,1)}\times B_{(r,j)}$
  矩阵 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 =矩阵 $A$ 的第 $i$ 行元素与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。
  例如: $A=\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{lll}g& h& i\\ j& k& l\end{array}\right]$ ，求 $C=A\times B$ 。
  $$A\times B=\left[\begin{array}{lll}a\times g+b\times j& a\times h+b\times k& a\times i+b\times l\\ c\times g+d\times j& c\times h+d\times k& c\times i+d\times l\\ e\times g+f\times j& e\times h+f\times k& e\times i+f\times l\end{array}\right]$$
  可以发现 $A\times B$ 和 $B\times A$ 将得到两种不同的结果，因此矩阵不满足乘法交换律。

(3) 方阵次幂

如果矩阵的行和列相同，称矩阵为方阵。若 $A$ 是一个方阵，方阵的幂是指，将 $A$ 连乘 $n$ 次， $A^n$ 。
若不是方阵则无法进行乘幕运算。
矩阵乘法不满足交换律，但是满足结合律，因此可以用快速幕的思想来求解方程次幂。