SS-CA-APPLE：如何定义复变函数的极限和连续性？

 

§01 数学原理

---

1.1 函数的极限

1.1.1 定义

设函数 $w=f\left(z\right)$ 定义在 $z_0$ 的 去心邻域 $0<\left|z-z_0\right|<\rho$ 内。如果有一确定数 $A$ 存在，对于任意给定的 $\epsilon >0$ ，相应必有一个正数 $\delta \left(\epsilon \right)\left(0<\delta \le \rho \right)$ 使得当 $0<\left|z-z_0\right|<\delta$ 时，有 $$\left|f\left(z\right)-A\right|<\epsilon$$ 那么称 $A$ 为 $f\left(z\right)$ 在 $z$ 趋向于 $z_0$ （ $z\to z_0$ ）时的极限，记做 $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(t\right)=A$ 或者当 $z\to z_0$ 时， $f\left(z\right)\to A$ 。

▲ 图1.1.1 函数的极限

  复变函数的极限定义与实变函数极限定义之间的差异：

• 复变函数使用了圆形区域替代了实变函数的邻域；
• 定义中 $z\to z_0$ 的方式是任意的，无论什么方式趋近所引起 $f\left(z\right)$ 都趋向于常数 $A$ 。

1.1.2 极限充要条件

  设 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ ， $A=u_0+i{v}_0$ ， $z_0=x_0+i{y}_0$ ，那么 $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(z\right)=A$ 的充要条件是 $$\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }u\left(x,y\right)=u_0,\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }v\left(x,y\right)=v_0$$

  证明：【略】

1.1.3 四则运算的极限

  如果 $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(z\right)=A,\underset{z\to z_0}{\lim }g\left(z\right)=B$ ，那么

  （1） $\underset{z\to z_0}{\lim }\left[f\left(z\right)\pm g\left(z\right)\right]=A\pm B$ ；
  （2） $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(z\right)g\left(z\right)=AB$ ；
  （3） $$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f\left(z\right)}{g\left(z\right)}=\frac{A}{B},\left(B\ne 0\right)$$

1.2 函数的连续性

1.2.1 定义

  如果 $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(z\right)=f\left(z_0\right)$ ，那么就说 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 处连续。如果 $f\left(z\right)$ 在区域 $D$ 内处处连续，则称 $f\left(z\right)$ 在 $D$ 内连续。

1.2.2 连续的充要条件

  函数 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ 在 $z_0=x_0+i{y}_0$ 处连续的充要条件是： $u\left(x,y\right),v\left(x,y\right)$ 在 $\left(x_0,y_0\right)$ 处连续。

1.2.3 四则运算与复合函数连续性

  （1） 在 $z_0$ 连续的两个函数 $f\left(z\right),g\left(z\right)$ 的和、差、积、商（分母在 $z_0$ 不为零）在 $z_0$ 处仍然连续；
  （2） 如果函数 $h=g\left(z\right)$ 在 $z_0$ 处连续，函数 $w=f\left(h\right)$ 在 $h_0=g\left(z_0\right)$ 处连续，那么复函数 $w=f\left[g\left(z\right)\right]$ 在 $z_0$ 处连续。

  由此可以知道在复平面 $z$ 中，所有的有理整函数（多项式）、有理分式函数（在分母不为零的点）都是连续的。

1.2.4 有界性

在 闭曲线 或者包括曲线端点在内的曲线段上连续函数 $f\left(z\right)$ 在去县上是有界的，即存在 $0<M<+\infty$ ， $\left|f\left(z\right)\right|\le M$ 。

§02 应用举例

---

2.1 函数极限不存在

证明下面函数当 $z\to 0$ 时极限不存在。 $f\left(z\right)=\frac{\mathrm{Re}\left(z\right)}{|z|}$

  证明： 令 $z=x+iy$ ，则 $$f\left(z\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ 由此可得 $$u\left(x,y\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},v\left(x,y\right)=0$$ 让 $z$ 沿着直线 $y=kx$ 趋于0，有 $$\underset{x\to 0,y=kx}{\lim }u\left(x,y\right)=\underset{x\to 0,y=kx}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sqrt{1+k^2}\cdot x}=\pm \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$$ 显示，随着 $k$ 不同，上面极限不同，所以 $\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }u\left(x,y\right)$ 不存在。虽然 $\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }v\left(x,y\right)=0$ ，但 $\underset{z\to 0}{\lim }f\left(z\right)$ 不存在。

§03 信号与系统

---

  在信号与系统中很多情况下都需要应用到复变函数的极限。

3.1 广义傅里叶变换

直接通过公式 $F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$ 计算信号 $f\left(t\right)$ 的频谱，需要它满足 Dirichlet 条件。其中就包括要求函数绝对可积 $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|f\left(t\right)\right|dt<+\infty$$ 对于一些典型信号可能不满足这个条件，比如单位阶跃信号 $u\left(t\right)$ 。

  利用广义傅里叶变换概念可以帮助寻找这类函数的傅里叶变换。如果能够找到一个函数序列 $f_1\left(t\right),f_2\left(t\right),f_3\left(t\right),\cdots$，序列极限等于待转换函数 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(t\right)=f\left(t\right)$ 。序列中每个函数都存在傅里叶变换 $f_n\left(t\right)\to F_n\left(\omega \right)$ ，那么信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换定义为 $F_n\left(\omega \right)$ 的极限 $$F\left(\omega \right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{F}_n\left(\omega \right)$$

3.1.1 举例

  单位阶跃函数 $u\left(t\right)$ 可以看成单边指数衰减信号，在指数常量趋向于0时的极限 $$u\left(t\right)=\underset{\alpha \to 0}{\lim }{e}^{-\alpha t}\cdot u\left(t\right)$$ 对于 $e^{-\alpha t}\cdot u\left(t\right)$ 对的傅里叶变换 $\frac{1}{\alpha +j\omega }$ ，那么 $$FT\left[u\left(t\right)\right]=\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{1}{\alpha +j\omega }$$ 根据前面极限充要条件可以知道 $$\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{1}{\alpha +j\omega }=\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}-j\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2}=\pi \delta \left(\omega \right)+\frac{1}{j\omega }$$

  这里需要注意，连续复变函数在某一点 $z_0$ 的极限，需要分别求取实部 $\mathrm{Re}\left[f\left(z\right)\right]$ 和虚部 $\mathrm{Im}\left[f\left(z\right)\right]$ 的极限，然后再进行叠加，不能够从形式上直接将表达式中参量求极限。比如上面求 $\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{1}{\alpha +j\omega }$ ，不能简单令 $\alpha =0$ 从而得到极限为 $1/j\omega$ 。

§04 作业练习

---

4.1 函数极限

4.1.1 函数局部分析

  如果函数 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 连续，且 $f\left(z_0\right)\ne 0$ 。是否可以在 $z_0$ 处找到一个小领域，在这邻域内 $f\left(z\right)\ne 0$ ？

4.1.2 连续函数局部有界

设 $\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(z\right)=A$ ，证明 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 某一去心邻域内是有界的，寄存在一个实常量 $M>0$ 使得在 $z_0$ 某一个去心邻域内有 $\left|f\left(z\right)\right|\le M$ 。

4.2 函数连续

4.2.1 函数1

  设 $$f\left(z\right)=\frac{1}{2i}\left(\frac{z}{\bar{z}}-\frac{\bar{z}}{z}\right),\left(z\ne 0\right)$$ 试证明当 $z\to 0$ 时， $f\left(z\right)$ 的极限不存在。

4.2.2 函数2

  试证明 $f\left(z\right)=\arg z$ 在原点与负实轴上不连续。

---

■ 相关文献链接:

• 去心邻域
• 闭曲线
• Dirichlet

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 函数的极限

相关阅读：

• SS-CA-APPLE：什么是复数？如何进行复数四则运算？
• SS-CA-APPLE：如何使用几何表示复数？
• SS-CA-APPLE：如何求取复数的乘幂与方根？
• SS-CA-APPLE：怎么定义复平面上的区域和曲线？
• SS-CA-APPLE：什么是复变函数？
• SS-CA-APPLE：如何定义复变函数的极限和连续性？
• 信号与系统分析中的复变函数