SS-CA-APPLE：什么是复变函数积分中的复合闭路定理？

 

§01 数学原理

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1.1 柯西-古萨基本定理

1.1.1 定理内容

  如果函数 $f\left(z\right)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么函数 $f\left(z\right)$ 沿 $B$ 内任何一条封闭曲线 $C$ 的积分为零。 $${\oint }_{C}f\left(z\right)dz=0$$

▲ 图1.1.1 连通域内的封闭曲线积分

1.1.2 路径说明

  上面定理成立，对于路径 $C$ 的要求：

• 路径 $C$ 可以是简单曲线，也可以不是简单曲线；
• 路径 $C$ 可以是区域 $B$ 的边界，只要 $f\left(z\right)$ 在区域的闭包 $\bar{B}$ 上连续，在 $B$ 内解析；

1.1.3 闭路变形原理

  复变函数 $f\left(z\right)$ 的多连通域 $D$ 内解析。路径 $C$ 在 $D$ 中做连续变形，并不影响 $f\left(z\right)$ 在 $C$ 上的积分值，只要在变性过程中 $C$ 不经过函数 $f\left(z\right)$ 不解析的点。

  下面两条路径 $C_1,C_2$ 可以通过连续变形转换，所以在 $D$ 中解析的函数 $f\left(z\right)$ 在这两条路径上的积分值相同。

▲ 图1.1.2 闭路变形原理

1.2 复合闭路定理

  设 $C$ 为多连通域 $D$ 内的一条简单闭曲线， $C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 是 $C$ 内部的简单闭曲线，它们相互不包含，也想互不相交，以 $C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 为边界的区域全含于 $D$ 中。如果 $f\left(z\right)$ 在 $D$ 内解析，那么 $${\oint }_{C}f\left(z\right)dz=\sum _{i=1}^n{\oint }_{C_i}f\left(z\right)dz$$ 其中的 $C$ 以及 $C_k$ 均去正方向；

  如果 $C$ 按照逆时针， $C_k$ （ $k=1,2,\cdots ,n$）按顺时针作为正方向，则有 $${\oint }_{\Gamma }f\left(z\right)dz=0$$ 其中 $\Gamma$ 是由 $C$ 及其 $C_k$ 组成的复合闭路。

▲ 图1.2.1 复合闭路定理

  借助于复合闭路定理，可以把比较复杂的函数积分转换成简单的函数积分。

原函数与不定积分

根据柯西-古萨定理，可以知道下面定理成立。

• 如果函数 $f\left(z\right)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么几分 ${\int }_{C}f\left(z\right)dz$ 与连接起始以及终点的路径 $C$ 无关。

• 如果 $f\left(z\right)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么函数 $F\left(z\right)$ 也是 $B$ 内的解析函数，而且 $F^{\prime }\left(z\right)=f\left(z\right)$ 。其中 $$F\left(z\right)={\int }_{z_0}^{z}f\left(\zeta \right)d\zeta$$

• 如果函数 $\varphi \left(z\right)$ 在区域 $B$ 内的导数处于 $f\left(z\right)$ ， ${\varphi }^{\prime }\left(z\right)=f\left(z\right)$ ，那么称 $\varphi \left(z\right)$ 为 $f\left(z\right)$ 在区域 $B$ 内的原函数；

• 如果 $f\left(z\right)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析， $G\left(z\right)$ 为 $f\left(z\right)$ 的一个 原函数，那么 $${\int }_{z_0}^{z_1}f\left(z\right)dz=G\left(z_1\right)-G\left(z_0\right)$$

§02 应用举例

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2.1 计算复合闭路积分

2.1.1 计算有理分式围线积分

计算下面积分，其中路径是包含有圆周 $\left|z\right|=1$ 在内的任何正向简单闭曲线。
$${\oint }_{\Gamma }\frac{2z-1}{z^2-z}dz$$

  求解： 积分函数 $\frac{2z-1}{z^2-z}$ 在 $z=0,z=1$ 两个奇点之外都是处处解析的。路径 $\Gamma$ 是包含有这两个奇点的路径。在 $\Gamma$ 内设置两个相互不交叉的正向圆周 $C_1,C_2$ 分别只包含 $z=0$ 和 $z=1$ 。那么根据复合闭路定理可以知道$${\oint }_{\Gamma }\frac{2z-1}{z^2-z}dz={\oint }_{C_1}\frac{2z-1}{z^2-z}dz+{\oint }_{C_2}\frac{2z-1}{z^2-z}dz$$$$={\oint }_{C_1}\frac{1}{z-1}dz+{\oint }_{C_1}\frac{1}{z}dz+{\oint }_{C_2}\frac{1}{z-1}dz+{\oint }_{C_2}\frac{1}{z}dz$$$$=0+2\pi i+2\pi i+0=4\pi i$$

▲ 图2.1.1 积分的复合路径

§03 信号与系统

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  在信号与系统中，和复合闭路定理相关的 应用实际上就是最后涉及到留数定理完成拉普拉斯反变换和z反变换公式的计算。

§04 作业练习

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4.1 计算积分值

4.1.1 观察积分数值

试用观察方法确定下列积分数值，并给出依据。其中 $C$ 是正向圆周 $\left|C\right|=1$ 。

$$\left(1\right){\oint }_C\frac{dz}{z-2};\left(2\right){\oint }_C\frac{dz}{z^2+2z+4};$$$$\left(3\right){\oint }_C\frac{dz}{\cos z};\left(4\right){\oint }_C\frac{dz}{z-\frac{1}{2}};$$$$\left(5\right){\oint }_{C}z{e}^{2}dz;\left(6\right){\oint }_C\frac{dz}{\left(z-\frac{i}{2}\right)\left(z+2\right)}$$

4.1.2 计算积分值

  沿指定区县正向方向计算下来个积分：

$$\left(1\right){\oint }_C\frac{e^z}{z-2}dz,C:\left|z-2\right|=1$$$$\left(2\right){\oint }_C\frac{dz}{z^2-a^2}dz,C:\left|z-a\right|=a$$$$\left(3\right){\oint }_C\frac{e^{iz}dz}{z^2+1}dz,C:\left|z-2i\right|=\frac{3}{2}$$$$\left(4\right){\oint }_C\frac{zdz}{z-3}dz,C:\left|z\right|=2$$$$\left(5\right){\oint }_C\frac{dz}{\left(z^2-1\right)\left(z^3-1\right)},C:\left|z\right|=r<1$$$$\left(6\right){\oint }_C{z}^3\cos zdz,C:\left|z\right|=r$$$$\left(7\right){\oint }_C\frac{dz}{\left(z^2+1\right)\left(z^2+4\right)},C:\left|z\right|=\frac{3}{2}$$$$\left(8\right){\oint }_C\frac{\sin zdz}{{\left(z-\frac{\pi }{2}\right)}^2},C:\left|z\right|=2$$$$\left(9\right){\oint }_C\frac{\sin zdz}{z},C:\left|z\right|=1$$$$\left(10\right){\oint }_C\frac{e^{z}dz}{z^5},C:\left|z\right|=1$$

4.2 利用编程进行数值积分

  通过Python，MATLAB编程使用数值积分验证上述积分值是否与理论值相同。

4.2.1 举例

使用数值计算 $${\oint }_C\frac{\sin zdz}{z},C:\left|z\right|=1$$

from headm import *
import quadpy
val,err = quadpy.quad(lambda t: sin(exp(1j*t))/exp(1j*t)*1j*exp(1j*t), 0, 2*pi)
printf(val)

-6.661338147750939e-16j

  可以看到这个积分数值应该反映原题积分值等于0.

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● 相关图表链接:

• 图1.1.1 连通域内的封闭曲线积分
• 图1.1.2 闭路变形原理
• 图1.2.1 复合闭路定理
• 图2.1.1 积分的复合路径