SS-CA-APPLE：什么是柯西积分公式？

 

§01 数学原理

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1.1 柯西积分公式

1.1.1 定理

  如果 $f\left(z\right)$ 在区域 $D$ 内处处解析， $C$ 为 $D$ 内的任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全包含于 $D$ ， $z_0$ 为 $C$ 内的任意点，那么 $$f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz$$

▲ 图1.1 柯西积分公式

证明： 由于 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 连续，任意给 $\epsilon >0$ ，必有一个 $\delta \left(\epsilon \right)>0$ ，当 $\left|z-z_0\right|<\delta$ 时， $\left|f\left(z\right)-f\left(z_0\right)\right|<\epsilon$ 。设以 $z_0$ 为中心， $R$ 为半径的圆周 $K:\left|z-z_0\right|=R$ 全部位于 $C$ 的内部，且 $R<\delta$ ，那么$${\oint }_C\frac{f\left(z\right)}{z-z_0}dz={\oint }_K\frac{f\left(z\right)dz}{z-z_0}={\oint }_K\frac{f\left(z_0\right)dz}{z-z_0}+{\oint }_C\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz$$$$=2\pi if\left(z_0\right)+{\oint }_K\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz$$

对于上述公式最后一项 $$\left|{\oint }_K\frac{f\left(z\right)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}dz\right|\le {\oint }_K\frac{\left|f\left(z\right)-f\left(z_0\right)\right|}{\left|z-z_0\right|}ds<\frac{\epsilon }{R}{\oint }_{K}ds=2\pi \epsilon$$

1.1.2 解释

  柯西积分公式告诉我们一个解析函数在 $C$ 内部的任意一点的值可以用它在边界上的值来表示。换句话说，如果函数 $f\left(z\right)$ 在区域边界上的值一点确定，那么它在区域内部任意一处的值也就确定了。这是解析函数的特征。柯西积分公式不但给我们提供了计算某些复变函数沿封闭路径积分的方法，而且给出了解析函数的积分表达式。

§02 应用举例

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2.1 求积分数值

  求下列积分（沿圆周正向）的值：

$$\left(1\right)\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=4}\frac{\sin z}{z}dz,\left(2\right){\oint }_{|z|=4}\left(\frac{1}{z+1}+\frac{2}{z-3}\right)dz$$

  求解： 根据柯西积分公式可以知道

  （1） $$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=4}\frac{\sin z}{z}dz={\sin z|}_{z=0}=0$$

  （2） $${\oint }_{|z|=4}\left(\frac{1}{z+1}+\frac{2}{z-3}\right)dz={\oint }_{|z|=4}\frac{dz}{z+1}+{\oint }_{|z|=4}\frac{2dz}{z-3}=2\pi i\cdot 1+2\pi i\cdot 2=6\pi i$$

§03 信号与系统

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3.1 拉普拉斯反变换

  对于信号与系统来说，柯西公式提供了计算复变函数的间接方法。但这个公式需要积分路径是简单闭合曲线。对于z反变换公式来讲，它满足简单闭曲线的要求。但对于Laplace变换，对应的积分线是平行于虚轴的直线，不是闭合曲线。

$$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F\left(s\right)e^{st}ds$$

  为了满足积分路径为简单闭曲线，则需要在复平面无穷远处添加一条逆时针的半圆。

▲ 图3.1.1 Laplace反变换积分路径

  为了保证这个围线积分与沿着平行于虚轴直线积分数值相等，根据Jordan引理，需要 $F\left(s\right)$ 满足 $$\underset{R\to \infty }{\lim }F\left(s\right)=0$$ 此时， $F\left(s\right)$ 在无穷远处的积分 $$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{C_R}F\left(s\right)e^{st}ds=0$$

§04 作业练习

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4.1 计算积分值

（1）计算定积分

  计算下列各题：
$$\left(1\right){\int }_{-\pi i}^{3\pi i}{e}^{2z}dz\left(2\right){\int }_{\frac{\pi }{t}i}^{0}ch3zdz$$$$\left(3\right){\int }_{-\pi i}^{\pi i}{\sin }^{2}zdz\left(4\right){\int }_0^{1}z\sin zdz$$$$\left(5\right){\int }_0^i\left(z-i\right)e^{-z}dz\left(6\right){\int }_1^i\frac{1+\tan z}{{\cos }^{2}z}dz$$

4.1.1 计算围线积分

$$\left(1\right){\oint }_C\left(\frac{4}{z+1}+\frac{3}{z+2i}\right)dz,C:\left|z\right|=4$$ $$\left(2\right){\oint }_C\frac{2i}{z^2+1}dz,C:\left|z-1\right|=6$$ $$\left(3\right){\oint }_{C=C_1+C_2^{-}}\frac{\cos z}{z^3}dz,C_1:\left|z\right|=2,C_2:\left|z\right|=3$$

4.2 证明题

  设 $C_1$ 与 $C_2$ 为两条互不包含，也不相交的简单闭曲线，证明：

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● 相关图表链接:

• 图1.1 柯西积分公式
• 图3.1.1 Laplace反变换积分路径