[SciML教程]Julia求解常微分方程

SciML可以用AI求解偏微分方程，可以说十分黑科技了。

官网提供了notebook教程，可通过如下方式开启，

>]
pkg> add https://github.com/SciML/SciMLTutorials.jl
# 按退格键退出pkg
julia> using SciMLTutorials
julia> SciMLTutorials.open_notebooks()

常微分方程可以写成如下形式

$$u^{\prime }=f(u,p,t)$$

其中，$t$为自变量，$p$为模型参数，$u$是因变量，$f$是关于$u,t$的非线性模型。

接下来引入第一个案例：

$$u^{\prime }=0.98u,u(0)=1.0$$

这个方程的解析解为$e^{0.98t}$，是一个非常简单的微分方程，适合用于代码的验证。

其代码如下

using DifferentialEquations #如果未装，会提示是否安装，选择是
f(u,p,t) = 0.98u            #新建一个待求方程
u0 = 1.0                    #初值
tspan = (0.0,1.0)           #时间范围
#新建一个常微分方程问题
prob = ODEProblem(f,u0,tspan)
sol = solve(prob)

sol就是对这个ODE的求解结果，包含代表自变量和因变量的成员，分别是sol.t和sol.u，通过plot(sol)可对二者进行绘制，出图如下

using Plots; gr()
plot(sol)
savefig("ode_1.png")

接下来对比一下solve的结果和解析解，

plot!(sol.t, t->1.0*exp(0.98t),lw=3,ls=:dash,label="True Solution!")
savefig("ode_2.png")

出图如下

sol虽然有两个成员，但其本身并非两列的数组，而是一个复杂的类。sol本身也可以像函数一样调用。例如

julia> sol(1.5)
4.3471420001896455

故而，可以对比一下sol和解析解的差值，即拟合误差

plot(0:0.1:1, t->(sol(t)-1.0*exp(0.98t)),label="error")
savefig("ode_3.png")

可见误差尚可。