常微分方程 $1 绪论

§1 绪论

C1 微分方程

1）常微分方程：关于单个自变量的微分方程；偏微分方程：多个自变量

2）阶数：未知函数的最高阶导数的阶数

• n阶常微分方程有形式： $F(x,y,\frac{\mathbb{d}y}{\mathbb{d}x},\dots,\frac{\mathbb{d^n}y}{\mathbb{d}x^n}) = 0$

3）线性： $F(x)$是关于 $y,y',\dots,y^{(n)}$的一次有理整式

• n阶线性常微分方程有形式 $\frac{\mathbb{d^n}y}{\mathbb{d}x^n}+a_1(x)\frac{\mathbb{d^{n-1}}y}{\mathbb{d}x^{n-1}}+\dots+a_n(x)y = f(x)$

4）解：满足微分方程的函数

5）隐式解(积分)：满足微分方程的隐函数

6）通解：含有 n个独立的任意常数的解 $y=\phi(x,c_1,c_2,\dots,c_n)$

• 同理有隐式通解(通积分)

7）定解问题：由通解确定为特解。需要的附加条件称定解条件，分初值条件和边值条件

8）微分方程组：多个微分方程组成的方程组

• 通过换元可将 $n$阶微分方程转为n元一阶微分方程组

  $z^{(n)} = f(t,z^{(1)}\dots,z^{(n-1)})\iff \vec{y}=(z,z^{(1)},\dots,z^{(n-1)}),\frac{\mathbb{d}\vec{y}}{\mathbb{d}t} = f(t:\vec{y})$

C2 积分曲线

1）积分曲线：一阶微分方程 $\frac{\mathbb{d}y}{\mathbb{d}x} = f(x,y)$的解对应的曲线(族)。

• 过平面上一点作一小线段，斜率为 $f(x,y)$，得到的区域称方向场(向量场)。

• 向量场中方向相同的曲线 $f(x,y) = k$称为等(倾)斜线

2）驻定(自洽)： $\frac{\mathbb{d}\vec{y}}{\mathbb{d}t} = f(\vec{y}),\vec{y}\in D\sube R^n$；非驻定： $\frac{\mathbb{d}\vec{y}}{\mathbb{d}t} = f(t,\vec{y}),\vec{y}\in D\sube R^n$

• 非驻定方程可化为 $n+1$维驻定方程组

  $\begin{cases} \frac{\mathbb{d}\vec{y}}{\mathbb{d}\tau} = f(\vec{y},t),\vec{y}\in D\sube R^n \\ \frac{\mathbb{d}t}{\mathbb{d}\tau} = 1 \end{cases}$

• 驻定方程组的解 $\Phi(t,\vec{y})=\Phi_t(\vec{y})$可视为 $t$为参数， $D\to D$的单参数变换群

  • $\Phi_0(\vec{y})=\vec{y}$
  • $\Phi_{t_1+t_2} = \Phi_{t_1}(\Phi_{t_2}(\vec{y})) = \Phi_{t_2}(\Phi_{t_1}(\vec{y}))$
  • 满足上述性质的映射又称为动力系统。由 $t$的离散与连续，分离散动力系统与连续动力系统

3）相空间：不含自变量，由未知函数构成的空间

• 轨线：积分曲线在相空间中的投影

• 奇点(驻定解，常数解)：驻定微分方程组的特解 $\frac{\mathbb{d}\vec{y}}{\mathbb{d}t} = f(\vec{y})=0$

• 驻定方程的方向场不受到时间轴 $t$的移动影响

  故 $\begin{cases}\frac{\mathbb{d}x}{\mathbb{d}t} = f(x,y) \\ \frac{\mathbb{d}y}{\mathbb{d}t} = g(x,y) \end{cases}$上积分曲线可以投影到(x,y)平面上研究。方程组等价于 $\frac{\mathbb{d}y}{\mathbb{d}x} = \frac{g(x,y)}{f(x,y)}$

  $f(x,y) = 0$的曲线上 $x$向变化为0，称垂直等倾线，同理有水平等倾线。显然，两线交于奇点

C3 独立性

1）独立：设函数 $y_i = f_i(x_1,x_2,\dots,x_m)$，其一阶偏导数在开集 $D$上存在且连续，若任意一个函数不能为其它函数所表示，称函数独立

• 判定：
  • 雅可比矩阵在开集上任意一点的秩小于 $m$ $\iff$相关
  • 雅可比矩阵在开集上任意一点的秩等于 $m$ $\iff$独立
• 当 $n=m$时，可借助行列式判断满秩
• 对于n阶微分方程的通解 $\phi(x,c_1,c_2,\dots,c_n)$，当 $\frac{\partial(\phi,\phi^{(1)},\dots,\phi^{(n-1)})}{\partial(c_1,c_2,\dots,c_n)}\neq 0$，称 $n$个积分常数独立

2）雅可比矩阵： $J(y_1\dots,y_m;x_1,\dots x_n)=\frac{D(y_1,y_2,\dots,y_m)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)} = (\frac{\partial y_i}{\partial x_j})_{m\times n}$

• 多元隐函数解求导： $F(x_1,x_2,\dots,x_n,y) = 0 \implies \frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{F'_{x_i}}{F'_y}$

• 多元隐函数组求导： $F_i(x_1,x_2,\dots,x_n,y_1,y_2,\dots,y_m),i = 1,2,\dots ,m \implies \frac{\partial y_i}{\partial x_j} = \frac{J(F_1,\dots,F_m;y_1,\dots,y_{j-1},x_j,y_{j+1},\dots,y_n)}{J(F_1,\dots,F_m;y_1,\dots,y_n)}$