常微分方程初等解法（一）

常用定义

首先介绍一下包括向量组的朗斯基行列式(Wronskian)、矩阵的范数、矩阵指数等定义的描述及性质的定义

朗斯基行列式(Wronskian)

定义: 设有 $n$个定义在区间 $a \leq t \leq b$上的向量函数
$\boldsymbol{x}_1(t)= \left[ \begin{matrix} x_{11}(t) \\ x_{21}(t) \\ \vdots \\ x_{n1}(t) \\ \end{matrix} \right] =, \cdots, \boldsymbol{x}_1(t)= \left[ \begin{matrix} x_{1n}(t) \\ x_{2n}(t) \\ \vdots \\ x_{nn}(t) \\ \end{matrix} \right]$
由这 $n$个向量函数构成的行列式
$\boldsymbol{W}\left[ \boldsymbol{x}_1(t),\boldsymbol{x}_2(t),\cdots,\boldsymbol{x}_n(t) \right] \equiv \boldsymbol{W} \equiv \left| \begin{matrix} x_{11}(t) & x_{12}(t) & \cdots & x_{1n}(t) \\ x_{21}(t) & x_{22}(t) & \cdots & x_{2n}(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1}(t) & x_{n2}(t) & \cdots & x_{nn}(t) \end{matrix} \right|$
称为这些向量函数的朗斯基行列式(Wronskian)行列式

矩阵范数

定义: 对于 $n \times n$矩阵 $\mathbf{A}=[a_{ij}]_{n \times n}$和 $n$维向量 $\boldsymbol{x}=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]$, 我们定义它的范数为
$|| \mathbf{A} || = \sum_{i,j=1}^{n} | a_{ij} | \qquad ||\boldsymbol{x} || =\sum_{i=1}^n|x_i|$

性质: 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$为 $n \times n$矩阵, $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$为 $n$维向量, 这是容易验证下面两个性质:
$1. \ || \mathbf{A B} || \leq || \mathbf{A} || \cdot || \mathbf{B} || \\ \quad || \mathbf{A} \boldsymbol{x}|| \leq || \mathbf{A} || \cdot || \boldsymbol{x} ||$
$2. \ || \mathbf{A + B} || \leq || \mathbf{A} || + || \mathbf{B} || \\ \quad || \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}|| \leq || \boldsymbol{x} || +|| \boldsymbol{y} ||$

矩阵指数

定义: 如果 $\mathbf{A}$是一个 $n \times n$常数矩阵, 我们定义矩阵指数 $\exp \mathbf{A}$为下面的矩阵级数的和
$\exp \mathbf{A} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mathbf{A}^k}{k!} = \mathbf{E} + \mathbf{A} + \frac{\mathbf{A^2}}{2!} + \cdots + \frac{\mathbf{A^m}}{m!} + \cdots$
其中 $\mathbf{E}$为 $n$阶单位矩阵, $\mathbf{A}^m$是矩阵 $\mathbf{A}$的 $m$次幂. 这里我们规定 $\mathbf{A}^0 = \mathbf{E}, 0!=1$.

性质:

1. 级数 $\exp \mathbf{A}$是收敛的
   $\because || \frac{\mathbf{A}^k}{k!} || \leq \frac{||\mathbf{A}^k||}{k!} \\ \therefore \exp \mathbf{A} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mathbf{A}^k}{k!} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{||\mathbf{A}^k||}{k!} = n-1 + e^{||\mathbf{A}||}$,即级数收敛

2. 进一步地, 级数
   $\exp \mathbf{A}t = \sum_{k=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^k t^k}{k!}$在 $t$的任何有限区间上是一致收敛的.
   对于一切正整数 $k$, 当 $|t| \leq c$ ( $c$是某一正常数)时, 有
   $|| \frac{\mathbf{A}^k t^k}{k!} \leq \frac{||\mathbf{A}||^k |t|^k}{k!} \leq \frac{||\mathbf{A}||^k c^k}{k!}$
   而级数 $\sum_{k=0}^\infty \frac{||\mathbf{A}||^k c^k}{k!}$是收敛的, 因而 $\exp \mathbf{A}t = \sum_{k=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^k t^k}{k!}$是一致收敛的.

3. 如果矩阵 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$是可交换的, 即 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$, 则
   $\exp (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \exp \mathbf{A} \exp \mathbf{B}$

一阶微分方程

变量分离方程

一种常见的一阶常微分方程如
$\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y) \tag{1}$
称为变量分离方程，这里 $f(x), \varphi(y)$分别是 $x,y$的连续函数。

求解过程

首先将变量进行分离，即将等号两侧变量进行统一
$\frac{dy}{\varphi(y)}=f(x)dx$
然后同时对两边积分，得到
$\int\frac{dy}{\varphi(y)}=\int f(x)dx+c$
可将与 $\int f(x)dx$看作 $\frac{1}{\varphi(y)}$与 $f(x)$的某个原函数，而 $c$则使得这两个原函数有意义。

最后通过求解原函数即可求得变量分离方程的通解。

例1

求方程
$\frac{dy}{dx}=P(x)y \tag{2}$
的通解，其中 $P(x)$是 $x$的连续函数.
解：将变量分离，得到
$\frac{dy}{y}=P(x)dx$
对两边积分，即得
$\ln|y|=\int P(x) dx+\tilde{c}$
其中 $\tilde{c}$是任意常数，由对数定义，即有
$|y|=e^{\int P(x)dx + \tilde{c}}$
即
$y=\pm e^{\tilde{c}} \cdot e^{\int P(x)dx}$
令 $\pm e^{\tilde{c}}=c$，得到
$y=ce^{\int P(x)dx}\tag{3}$

此外， $y=0$显然也是例1的解. 如果在上式中允许 $c=0$，则 $y=0$也就包括在例1中，因而，式 $(2)$的通解为式 $(3)$，其中 $c$为任意常数,

线性微分方程组

现在讨论线性微分方程组
$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+f(t) \tag{4}$
的一般理论，主要是研究它的解的结构问题,
如果 $\boldsymbol{f(t)\not\equiv0}$，则称上式为非齐线性的,
如果 $\boldsymbol{f(t)\equiv0}$，则方程的形式为
$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x} \tag{5}$
则称上式为齐线性的.，通常称 $\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}$为对应于 $\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+f(t)$的齐线性方程组.

齐线性微分方程组

齐线性微分方程组的性质

$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x} \tag{5}$

定理1

如果 $\boldsymbol{x}_1(t), \boldsymbol{x}_2(t),\dots,\boldsymbol{x}_n(t)$是式(5)的 $n$个线性无关的解，则式(5)的任一解 $\boldsymbol{x}(t)$均可表示为
$\boldsymbol{x}(t)=c_1\boldsymbol{x}_1(t)+c_2\boldsymbol{x}_2(t)+\cdots+c_n\boldsymbol{x}_n(t)$
这里 $c_1,c_2,\cdots,c_n$是相应的确定常数
证明：任取 $t_0 \in [a,b]$，令
$\boldsymbol{x}(t_0)=c_1\boldsymbol{x}_1(t_0)+c_2\boldsymbol{x}_2(t_0)+\cdots+c_n\boldsymbol{x}_n(t_0) \tag{6}$
把式(6)看作是以 $c_1,c_2,\cdots,c_n$为未知量的线性代数方程组，该方程组的系数行列式就是 $W(t_0)$. 由于 $\boldsymbol{x}_1 (t), \boldsymbol{x}_2 (t),\dots,\boldsymbol{x}_n (t)$是线性无关的，因此 $W(t_0) \neq 0$，根据线性代数方程组的性质，方程组(6)有唯一解 $c_1,c_2,\cdots,c_n$. 以这组确定了的 $c_1,c_2,\cdots,c_n$构成向量函数 $c_1\boldsymbol{x}_1(t)+c_2\boldsymbol{x}_2(t)+\cdots+c_n\boldsymbol{x}_n(t)$，那么它是式(5)的解. 由式(6)可知 $\boldsymbol{x}(t_0)$与 $c_1\boldsymbol{x}_1(t_0)+c_2\boldsymbol{x}_2(t_0)+\cdots+c_n\boldsymbol{x}_n(t_0)$具有相同的初始条件. 由解的唯一性,得到
$$ $\boldsymbol{x}(t_0) \equiv c_1\boldsymbol{x}_1(t_0)+c_2\boldsymbol{x}_2(t_0)+\cdots+c_n\boldsymbol{x}_n(t_0) \tag{7}$
定理证毕.

基解矩阵

如果一个 $n \times n$矩阵的每一列都是式(5)的解,我们称这个矩阵为式(5)的解矩阵. 如果其所有列在 $a \leq t \leq b$上是线性无关的, 则称其为式(5)的基解矩阵. 我们用 $\boldsymbol{\Phi}(t)=[ \boldsymbol{\phi}_1(t), \boldsymbol{\phi}_2(t), \cdots, \boldsymbol{\phi}_n(t) ]$表示式(5)的基解矩阵.

基解矩阵的性质1

如果 $\boldsymbol{\Phi}(t)$为式(5)的基解矩阵, 那么式(5)的任一解 $\boldsymbol{\Psi}(t)$可表示为
$\boldsymbol{\Psi}(t)=\boldsymbol{\Phi (t) c}$

基解矩阵的性质2

式(5)的一个解矩阵 $\boldsymbol{\Phi}(t)$是基解矩阵的充要条件是 $det \boldsymbol{\Phi} (t) \neq 0 \quad a \leq t \leq b$. 而且, 如果对某一个 $t_0 \in [a,b], det \boldsymbol{\Phi}(t_0) \neq 0$, 则 $det \boldsymbol{\Phi}(t) \neq 0, \quad a \leq t \leq b$

非齐线性微分方程组

接下来讨论非齐线性微分方程组的性质及求解
$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+f(t) \tag{4}$
$\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x} \tag{5}$

非齐线性微分方程组的性质

性质1

如果 $\boldsymbol{\varphi}(t)$是式(4)的解, $\boldsymbol{\psi}(t)$是式(5)的解, 则 $\boldsymbol{\varphi}(t) + \boldsymbol{\psi}(t)$是式(4)的解.

性质2

如果 $\tilde \boldsymbol{\varphi}(t)$与 $\bar\boldsymbol{\varphi}(t)$是式(4)的两个解, 则 $\tilde \boldsymbol{\varphi}(t) - \bar\boldsymbol{\varphi}(t)$是式(5)的解

性质3

设 $\boldsymbol{\Phi}(t)$是式5的基解矩阵, $\bar \boldsymbol{\varphi}(t)$是式(4)的某一解, 则式(4)的任一解 $\boldsymbol{\varphi}(t)$都可以表示为
$\boldsymbol{\varphi}(t)=\boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{c} + \bar \boldsymbol{\varphi}(t)$
这里 $c$是确定的常数列向量