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前言
本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。
如有缺漏错误,欢迎补充指正!
常微分方程
常微分方程这一章出题的角度和思路十分的清晰,我认为难点在应用题,考查微积分的思想以及一些物理部分的内容,还容易和空间解析几何的内容联系起来。
(一)计算
重点考查对几种特定常微分方程的求解方法,以及对高阶线性方程解的结构的掌握。
1)求微分方程的解
分为直接可以套用公式的题和需要使用技巧的题。
直接套用公式包括:
- 一阶常系数线性微分方程
- 二阶常系数齐次微分方程
- 二阶常系数非齐次微方程
技巧包括:
- 可分离变量的微分方程(包括一阶和高阶微分方程)
- 可化为可分离变量的微分方程(包括常见的 和 形式)
- 不显式含y的高阶微分方程
- 不显式含x的高阶微分方程
- 未知函数和自变量互换
- 简单适当的变量代换
2)由微分方程求特解形式
掌握高阶常系数微分方程的解的结构便可
3)由微分方程的解求微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程解的结构有以下关系
- 非齐次特解 - 非齐次特解 = 齐次通解
- 非齐次特解 + 齐次通解 = 非齐次特解
- 非齐次方程通解 = 非齐次方程对应的齐次方程的通解 + 非齐次方程特解
- 齐次方程通解 = 齐次方程两个线性无关的特解的线性组合
4)由微分方程的解求微分方程
当微分方程为常系数线性微分方程时
- 尝试求齐次方程的解,并求得特征方程
- 得到微分方程的齐次方程
- 将最简单的非齐次方程的解带入非齐次方程,得到f(x),并得到要求的微分方程
当微分方程为线性微分方程时
- 求得带任意常数的通解y
- 求导得到 和
- 利用这三个方程消去常数C1,C2,便得到微分方程。
(二)微分方程综合题
微分方程综合题的步骤
- 联系其它微积分知识,构造微分方程
- 构造的微分方程一定是可解的,如果是非常系数或非线性,首先考虑构造的微分方程是否正确
- 解微分方程,求f(x)。
1)与定积分联系
含定积分的方程,求f(x)。
- 此类问题考查定积分的变量代换
- 变限积分的求导
- 最后得到微分方程
2)与极限联系
不含定积分的方程,求f(x)
- 考虑极限的定义,由极限构造出一阶微分方程
3)与全微分联系
全微分方程,求f(x)
- 在f(x)有连续一阶导的情况下,考虑全微分的充分必要条件,得到微分方程
4)与高阶导数联系
含有高阶导数的方程,求变换自变量后的方程,求f(x)
- 如果要求变换自变量,按照链式法则,变换自变量。
- 求解高阶导数,得到微分方程。
(三)微分方程应用题
1)与曲线相关的应用
根据要求,应该只会涉及二维直角坐标系、旋转体和某些立体体积,以及曲线的第一类弧长积分。出题角度也离不开解析几何中的量,比如截距、法线、切线等等。
频繁出现的几点
- 曲边梯形,以及曲边梯形的旋转体
2)与物理相关的应用(难点)
与物理相关的应用,一般涉及领域广泛,物理领域包括引力、压力、功、质心、形心等。在这一部分我还过于生疏,缺乏练习。除了要温习几个物理量外,还要掌握微元法,这是解题的核心,即在适当的部分使用微元法,建立微分方程求解。
在解题中需要注意的几点
- 只有一个自变量,一个因变量,自变量多数是t(时间)。
- 使用微元法可利用现有公式,也可以自己列方程。
- 方程一定是上述可解方程。
- 注意dx的正负