SciML求解简谐振动的微分方程

简谐振动的方程为

$$\ddot{x}+\omega x=0$$

解得

$$\begin{array}{rl}x(t)& =A\cos (\omega t-\varphi )\\ v(t)& =\dot{x}(t)=-A\omega \sin (\omega t-\varphi )\end{array}$$

通过SciML的求解方式为

using OrdinaryDiffEq, Plots

ω = 1           #输入\omega然后按tab可打出ω
x₀ = [0.0]      #输入\_0 然后按tab可打出下标₀
dx₀ = [π/2]     #\pi tab
tspan = (0.0, 2π)

ϕ = atan((dx₀[1]/ω)/x₀[1])
A = √(x₀[1]^2 + dx₀[1]^2)

#
function f(ddu,du,u,ω,t)
    ddu .= -ω^2 * u
end

# 创建二阶ODE问题
prob = SecondOrderODEProblem(f, dx₀, x₀, tspan, ω)
sol = solve(prob, DPRKN6())

#Plot
plot(sol, vars=[2,1], linewidth=2, title ="简谐振动", label = ["x" "dx"])
plot!(t->A*cos(ω*t-ϕ), lw=3, ls=:dash, label="解析解 x")
plot!(t->-A*ω*sin(ω*t-ϕ), lw=3, ls=:dash, label="解析解 dx")
savefig("ode_7.png")

结果如图所示

其中，DPRKN6是一个高效但不精确的求解器，采用的是龙格库塔法，并且具有6阶插值。如果感觉精度不够的话，可以改用DPRKN12，顾名思义有12阶插值，但相对来说会慢一些。

关于Runge-kutta法