微分方程求解一（常微分方程求解）

常微分方程求解方法

(1)初值问题(给某一点的函数值或者微分值)

1.初值问题(给某一点的函数值或者微分值)

• 问题类型：
  $$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=f(x,y) \\ y(x_0)=y_0 \end{gathered}$$
• 注意初值的个数不能少于阶数。
• 求解方法：
  • 欧拉法
  • 龙格库塔法
  • 预测校正法

(2)边值问题(给定在一个区域的边界上的函数值或微分值)

• 问题类型：
  $$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f(x,y,\frac{dy}{dx}) \\ y(a)=\alpha ,y(b)=\beta \end{gathered}$$

1.试射法

• 先猜初值，再使用迭代法寻找正确的初值。
• 一个例子：

$$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=y \\ y(0)=0,y(1)=1 \end{gathered}$$

• 拆分: $$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=y_1 \\ \frac{d{y}_1}{dx}=y \end{gathered}$$
• 注意这里仅有$y$的初值，因此这里首先就要求解出$y_1$的初始，然后通过初值问题的解法就可以求解。
• 猜 $y_1(0)=0\to y(1)=0$ 不符合题设，猜$y_1(0)=0\to y(1)=1.122532$ 不符合题设，最终可以求出当 $y_1(0)=0.890843$ 时 $y(1)=1$。

2.有限差分法

• 核心：根据泰勒公式的思想进行直接的差分公式的替换$$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h} \end{gathered}$$
• 线性常微分方程

  $$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=R(x) \\ y(a)=\alpha ,y(b)=\beta \end{gathered}$$

• 在$x_i$点处代入差分公式$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}+P(x_i)\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}+Q(x_i)y_i=R(x_i)$$
• 整理可得$$(1+\frac{h}{2}{P}_i)y_{i+1}+(h^2{Q}_i-2)y_i+(1-\frac{h}{2}{P}_i)y_{i-1}=h^2{R}_i$$
• 最后代入所有的点，得到一个线性方程组，然后通过线性方程组的求解可得。
• 注意$y(a)=\alpha ,y(b)=\beta$也是这个线性方程组方程的一部分，如果给出的是$$\frac{dy}{dx}{|}_{x=a}=\alpha ,\frac{dy}{dx}{|}_{x=b}=\beta$$就要通过对边界量求差分，将边界量引入到差分方程中，比如已知$x_4$和$x_0$处导数值，就要引入$x_{-1}$和$x_5$。