【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理

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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

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5.2 匹配基本定理

对称差

$A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$

记忆：先去掉 $A、B$都有的元素，然后再合并 $A、B$的其他元素

5.2.1 Berge定理

定理 5.1

$M$是 $G$的最大匹配的充要条件是 $G$不含 $M$可增长路径

证明

证必要性： $M$是 $G$的最大匹配 $\Rightarrow$ $G$不含 $M$可增长路径

使用反证法

假设 $G$中含有 $M$可增长路径 $P = v_0v_1v_2 ... v_{2m+1}$

令 $M^{'} = M \Delta E(P)$

显然 $M^{'}$是 $G$的一个匹配，且

$|M|^{'} = |M| + 1$

与 $M$是最大匹配相矛盾 ，故假设不成立

说明 $G$不含 $M$可增长路径

证充分性： $G$不含 $M$可增长路径 $\Rightarrow$ $M$是 $G$的最大匹配

使用反证法

假设 $G$不含 $M$可增长路径，但 $M$不是最大匹配

设 $M^{'}$是 $G$的一个最大匹配，则有 $|M|^{'} > |M|$

令 $H = G[M \Delta M^{'}]$

可以得到 $H$中每个顶点在 $H$中的次数只能是 $1或2$

---

为了理解上述： $H$中每个顶点在 $H$中的次数只能是 $1或2$

可以举一个例子帮助理解

定义一个最大匹配 $M^{'}$如下 再定义一个匹配 $M$，其中满足 $|M| < |M^{'}|$

得到 $M \Delta M^{'}$为

$M\Delta M^{'}$可以简单理解为：去掉两者重复的，保留两者没有重复的

再令 $H = G[M \Delta M^{'}]$

这里 $H$是 $G$的边子图（只要 $G$含有 $[M \Delta M^{'}]$边的部分） 事先假设 $G$中都存在这些边

可以发现 $H$中每一个连通分支有两种可能

• 一条边在 $M$和 $M^{'}$中交错的偶圈（上图左半部分）
• 一条边在 $M$和 $M^{'}$中交错的路径（上图右半部分）

所有可以得到 $H$中每个顶点在 $H$中的次数只能是 $1或2$

---

因为 $|M^{'}| > |M|$

所以一定有一个连通片中含有一条路径 $P$，始边和终边都属于 $M^{'}$

且 $P$的两个端点是 $M$非渗透点（上图右半部分含有这样的两个端点）

从而得出 $P$是 $M$可增长路径

与假设 $G$中无增长路径矛盾

故假设不成立， $M$是 $G$的最大匹配

5.2.2 Hall定理

定义 5.4

设 $S \subseteq V(G)$， $V(G)$中与 $S$的顶点相邻的所有顶点构成之集合称为 $S$的领域，记为 $N_G(S)$

---

定理 5.2

设 $G$是二部图，其划分为 $(X,Y)$，则 $G$有渗透 $X$每个顶点的匹配的充要条件是： $\forall S \subseteq X$，恒有

$|N_G(S)| \geq |S|$

证明

证必要性： $G$有渗透 $X$每个顶点的匹配 $\Rightarrow$ $\forall S \subseteq X$，恒有 $|N_G(S)| \geq |S|$

因为 $G$有渗透 $X$每个顶点的匹配

所以对于 $\forall S \subseteq X$，可以得到 $S$中每一个顶点在 $Y$中都可以找到对应的匹配点

故有

$|N_G(S)| \geq |S|$

证充分性： $\forall S \subseteq X$，恒有|N_G(S)| \geq |S|$$\Rightarrow $G$有渗透 $X$每个顶点的匹配

假设 $G$中没有渗透 $X$每个顶点的匹配

令 $M^{*}$为 $G$的一个最大匹配，则 $M^{*}$不能渗透 $X$

取 $X$中 $M^{*}$非渗透点 $u$

令 $Z$是由 $u$出发可由 $M^{*}$交错路径到达的顶点集

因 $M^{*}$是最大匹配，由 $Berge$定理，得

$u$是 $Z$中仅有的未被 $M^{*}$配对的顶点

如果还存在 $u$之外的一个顶点在 $Z$中，那么就存在一条 $M$交错路径的起点和终点都是非渗透点 则 $M$为可增长路径 但由 $Berge$定理知：最大匹配无可增长路径 故只能存在一个非渗透点，即 $u$是 $Z$中仅有的未被 $M^{*}$配对的顶点

我们取

$S= Z \cap X, T = Z \cap Y$

显然， $S- \{u\}$中的顶点在 $M^{*}$中与 $T$中的顶点配对

除了 $u$外， $S$与 $T$中的顶点都存在匹配关系

有

$|T| = |S| - 1 ， N(S) = T$

得到

$|S| = |T| + 1 = |N(S)| + 1$

与 $|N(S)| \geq |S|$相矛盾

故假设不成立

推论5.2.1

若 $G$是 $k-$正则二部图 $(k > 0)$，则 $G$有一个理想匹配

证明

设 $G$的二部图划分为 $(X, Y)$，则有

$k|X| = k|Y|$

从 $X$引出的边的数量 等于 从 $Y$引出的边的数量 （利用边的恒等性）

得到

$|X| = |Y|$

也就是 $|X|$和 $|Y|$中的顶点个数相同

令

• $S$是 $X$中任意一个非空子集

• $E_1$是与 $S$中顶点相关联的边集

• $E_2$是与 $N(S)$中顶点相关联的边集

则有

$E_1 \subseteq E_2 \quad或 \quad|E_1| \leq |E_2|$

$E_1$是与 $S$中顶点相关联的边集，且 $E_1$两个端点中另一个端点一定是在 $N(S)$中 所以 $E_1$是 $E_2$的一个子集

又因为

$$\begin{cases} |E_1| = k |S|\\ |E_2| = k |N(S)| \end{cases}$$

得到

$k |N(S)| > k |S|$

即

$|N(S)| > |S|$

由 $Hall$定理知， $G$中一定含有渗透 $X$中所有顶点的匹配 $M$

又因为 $|X| = |Y|$

所以 $M$为理想匹配

$X$中每个顶点都渗透了，又因为 $X$中每个顶点的的匹配点一定是在 $Y$中，故 $Y$中所有顶点也被渗透了

推论 5.2.2（ $t$条件）

设 $G$是划分为 $(X, Y)$的二部图，若存在整数 $t>0$，使得

• $X$中的每个顶点 $x_i$，都有 $d(x_i) \geq t$
• $Y$中的每个顶点 $y_i$，都有 $d(y_i)\leq t$

则 $G$中必有渗透 $X$的匹配

证明

令 $S$是 $X$中任意一个非空子集

再设

• $E_1$是与 $S$中顶点相关联的边集

• $E_2$是与 $N(S)$中顶点相关联的边集

则有

$E_1 \subseteq E_2 \quad或 \quad|E_1| \leq |E_2|$

$E_1$是与 $S$中顶点相关联的边集，且 $E_1$两个端点中另一个端点一定是在 $N(S)$中 所以 $E_1$是 $E_2$的一个子集

再分别计算 $|E_1|、|E_2|$

$|E_1|=\sum_{x\in S}d(x) \geq t|S|$

$|E_2|=\sum_{y\in N(S)}d(y) \leq t|N(S)|$

得到

$t|N(S)| \geq |E_2| \geq |E_2| \geq t|S|$

即

$|N(S)| > |S|$

由 $Hall$定理知， $G$中一定有渗透 $X$的匹配

5.2.3 Konig定理

定义5.5

设 $G=(V,E),K\subseteq V$

（1）若 $G$的每条边至少有一个端点属于 $K$，则称 $K$是 $G$的一个覆盖

（2）若 $K$是 $G$的一个覆盖， $\forall v \in V, K - \{v\}$不是覆盖，则称 $K$为极小覆盖

（3）若 $K$是 $G$的一个覆盖，但无覆盖 $K^{'}$，使得 $|K^{'}| <|K|$，则称 $K$为最小覆盖，用 $\alpha(G)$表示 $G$中最小覆盖的顶点数， $\alpha(G)$称为 $G$的覆盖数

---

Note

• 一般最小覆盖必定是极小覆盖
• 但极小覆盖却不一定是最小覆盖

覆盖：顶点覆盖图中所有边，即若 $K$是覆盖，则 $G - K$为无边图

若 $K$是 $G$的覆盖， $M$是 $G$的匹配

则 $K$要覆盖 $M$，至少需要 $|M|$个顶点，因此有

$|K| \geq |M|$

从而

$\alpha(G) \geq |M|$

引理 5.2.1

设 $K$与 $M$分别是 $G$的覆盖与匹配，则

$|M| \leq |K|$

引理 5.2.2

若 $G$存在匹配 $M$和覆盖 $K$，使得 $|M| = |K|$

则 $M$是最大匹配， $K$是最小覆盖

证明

设 $\tilde{K},M^{*}$分别是 $G$的最小覆盖和最大匹配，则有

$|K| \geq |\tilde{K}| \geq |M^{*}| \geq |M|$

一般的覆盖数肯定是大于等于最小覆盖数 最大匹配数大于一般的匹配数 最小覆盖数大于等于最大匹配（可以由引理5.2.1推出）

又因为

$|k| = |M|$

得到

$|K| = |\tilde{K}| = |M^{*}| = |M|$

综上

• $M$也是最大匹配
• $K$也是最小覆盖

定理 5.3 （Konig定理）

设 $G$是二部图， $M^{*}$是 $G$的最大匹配， $\tilde{K}$是 $G$的最小覆盖，则

$|M^{*}| = |\tilde{K}| = \alpha(G)$

若 $G$是一般图，则为 $|M^{*}| \leq |\tilde{K}|$ 若 $G$是二部图，则为 $|M^{*}| = |\tilde{K}|$

证明

设 $G$是二部图，其划分为 $(X, Y)$

若 $M^{*}$渗透 $X$的所有顶点，则有

$|M^{*}| = |X|$

$|M^{*}|$表示匹配的数量（两个顶点间有匹配边算一个匹配）

这时，显然 $X$是一个最小覆盖，有 $|X| = |\tilde{K}|$

二部图 $G$在这个应该是连通图 $X$中顶点关联的边都与 $Y$中顶点相连 所以 $X$是一个最小覆盖

综上有

$|M^{*}| = |\tilde{K}| = \alpha(G)$

若在 $X$中存在非渗透点

令 $U$是 $X$中的 $M^{*}$非渗透点的集合，如下图所示

设 $Z$是由 $M^{*}$交错路径与 $U$中顶点相连通的顶点之集合

令

• $S = Z \cap X$
• $T = Z \cap Y$

有

$N(S) = T$

又令

$\tilde{K} = (X - S) \cup T$

则 $G$中每一条边至少都有一端在 $\tilde{K}$中

若有一条边的一端在 $S$中，另一个端点在 $Y - T$中，这与 $N(S) = T$产生矛盾

说明 $\tilde{K}$是 $G$的一个覆盖，且 $|M^{*}| = |\tilde{K}|$

根据引理 5.3.2得

$\tilde{K}$是 $G$的一个最小覆盖

5.2.4 Tutte定理

定义 5.6

图的顶点数为奇数的连通片称为齐片，顶点数为偶数的连通片为偶片

用 $0(G)$表示 $G$中齐片的个数

定理 5.4（Tutte定理）

图 $G$中有理想匹配的充要条件是对于一切 $S\subseteq V$，有

$0(G- S) \leq |S|$

证明

推论 5.4

每个无割边的3-正则图有理想匹配

结语

说明：

• 参考于 课本《图论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正