【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（7）：连通度

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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

系列文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（3）：路径与连通

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（4）：有向图的连通性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（5）：树及其性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（6）：生成树算法

3.1 连通度

定义3.1 ：点断集

（1）设 $G$连通， $V^{'}\subset V(G),G[V-V^{'}]$不连通，则称 $V^{'}$为 $G$的点断集

去掉 $G$的一些顶点后， $G$不再连通，则这些点为 $G$的一个点断集

（2）最小点断集中顶点的个数称为 $G$的连通度，记为 $K(G)$

• 若 $G$无点断集，则规定 $K(G)=v(G)-1$
• 若 $G$不连通，则 $K(G) = 0$
• 若 $G$平凡，则 $K(G) = 0$

由一个顶点组成的点断集称为割点

（3）若 $k \leq K(G)$，称 $G$为 $k-$连通图

上面这句话的意思可以理解为：若 $K(G)=3$，则可以称 $G$为3-连通图、2-连通图、1-连通图   为使 $G$称为不连通图或平凡图，至少需要删除 $k$个顶点，则 $k$为 $G$的连通度

定义3.2

（1）设 $G$连通， $E^{'}\subseteq E(G),G-E^{'}$（从 $G$中删除 $E^{'}$中的边）不连通，则称 $E^{'}$是 $G$的边断集

删除 $G$中的一些边后，使得 $G$不再连通，则这些边组成 $G$的边断集

（2）最小边断集所含的边数称为 $G$的边连通度，记为 $K^{'}(G)$

• 当 $|E^{'}|=1$时，称 $E^{'}$中的边 $e$为割边
• 若 $G$是平凡图，则 $K^{'}(G)=0$
• 若 $G$是不连通图，则 $K^{'}(G)=0$

割边：去掉 $G$中的一条边后， $G$不再连通，这条边被称为割边

（3）若 $k \leq K^{'}(G)$，称 $G$为 $k-$边连通图

定理3.1

$K(G) \leq K^{'}(G)\leq \delta$

---

证明：

设 $d(v)=\delta$，则去掉与 $v$相连的 $\delta$条边后

$G$不连通，有

$K^{'}(G) \leq \delta$

当去掉 $\delta$条边后， $G$一定是不连通的   但是对于去掉小于 $\delta$条边后， $G$也可能是不连通的（比如去掉1条边 $G$就不连通了 ）   所以 $K^{'}(G) \leq \delta$

证 $K(G)\leq K^{'}(G)$稍微有点复杂，这里使用数学归纳法

当 $K^{'}(G)=0$时 说明 $G$为连通图或平凡图 $\Rightarrow K(G) = 0$

当 $K^{'}(G)=1$时，说明 $G$存在割边，则一定存在割点 $\Rightarrow K(G) = 1$

设 $e=(u,v)$为 $G$的割边 则去掉 $u或v$的同时，一定会去掉割边 $e$，可以得到一个不连通图 所以 $G$存在割边，则一定存在割点

假设 $K^{'}=k$时， $K(G) \leq K^{'}(G)$成立

那么我们就需要证明当 $K^{'}=k+1$时， $K(G) \leq K^{'}(G)$成立

令 $K^{'}(H)=k+1\geq 2$， $E$是 $H$的一个边断集，且 $|E|=k+1$

假设 $e=uv\in E$，则

$K^{'}(H-e)=(k+1) - 1= k$

因为 $e$是最小边断集中的一条边 当 $e$不存在时 那么最小边断集的数量会减1

所以 $H-e$中，必定存在一个顶点集 $S$，使得 $[H-e] - S$不连通或平凡，且 $|S|\leq k$

因为 $K^{'}(H-e)=k$ 说明 $H-e$中最少去掉 $k$条边后， $H-e$不连通 若这 $k$条边所连接的顶点无重合 则至少需要去掉 $k$个顶点才会同时去掉这 $k$条边，说明 $|S|=k$ 若这 $k$条边所连接的顶点有重合（即存在一个顶点连接不止这 $k$条边中的一条边） 所以去掉边断集中 $k$条边所需要去掉的顶点数是小于 $k$的，说明 $|S|<k$ 综上， $|S|\leq k$

此时 $S^{'}=S\cup\{u\}或S\cup \{v\}$可使 $H-S^{'}$不连通或平凡

$u,v$连成的边 $e\in E$ 若只去掉 $S$， $G$还是连通的 因为还有一条边 $e\in E$没有去掉 所以还需要去掉 $e$连接的任意一个顶点 $u或v$ 这样 $H-S-u或H-S-v$才是不连通的

所以，此时 $H$的点连通度 $K(G)$满足

$K(G)\leq|S^{'}|=|S \cup \{u\}|$

去掉 $|S \cup \{u\}|$后， $H$一定是不连通的 但是依然还是存在去掉数量比 $|S\cup \{u\}|$少的顶点，使得 $H$依然不连通 所以 $K(G)\leq|S^{'}|=|S \cup \{u\}|$

又因为

$|S \cup \{u\}|\leq k + 1 = K^{'}(H)$

所以得到

$K(G) \leq K^{'}(G)$

定理3.2

设 $G$是 $v\geq 3$的图，则 $G$是 $2-$点连通图充要条件是 $G$的任意两个顶点至少由两条内不相交的路径连通

推论3.2.1

若 $G$是 $2-$连通图（ $v\geq 3$），则 $G$的任二顶点总位于 $G$的某个圈上

推论3.2.2

若 $G$是 $2-$连通图（ $v\geq 3$），则 $G$的任意两条边总位于 $G$的某个圈上

定理3.2：门格尔定理（Menger）

若 $G$是 $k-$连通图（ $v\geq 3$），则 $G$

• 任二顶点总位于 $G$的某个圈上
• 任意两条边总位于 $G$的某个圈上

定理3.3

若 $G$是 $v\geq k + 1$的 $k-$点连通图，则 $G$的任意两个顶点总至少由 $k$条内不相交的路径连通

结语

说明：

• 参考于 课本《图论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正