【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（5）：克拉默法则

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简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

1.7 克拉默法则

内容

含有n个未知数 $x_1,x_2,...,x_n$的n个线性方程的方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} \tag1$$

克拉默法则：如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即

$$D=\begin{vmatrix} a_{11} &... & a_{1n}\\ a_{21} & ... &a_{2n}\\ . & &. \\ . & & . \\ a_{n1} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \neq 0$$

那么，方程组（1）就有唯一解

$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}$

其中， $D_j(j=1,2,...,n)$是把系数行列式 $D$中的第j列元素用方程组右端的常数项替代后得到的n阶行列式，

即

$$D_j=\begin{vmatrix} a_{11} &..& a_{1,j-1}&..&b_1&a_{1,j+1}&.. & a_{1n}\\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ a_{n1} &..& a_{n,j-1}&..&b_n&a_{n,j+1}&.. & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$$

定理4

如果线性方程组（1）的系数行列式 $D \neq 0$,那么（1）一定有解，且解是唯一的

定理4的逆否定理

如果线性方程组（1）无解或有2个不同的解，那么它的系数行列式一定为0

非奇次/奇次线性方程组

奇次线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases}$$

非奇次线性方程组（ $b_1，b_2...b_n$不全为0）

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases}$$

对于奇次线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases}$$

$x_1=x_2=...=x_n=0$一定是它的解，这个解叫做零解。若一组解不全为0，则叫做非零解。   奇次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。

定理5

如果奇次线性方程组的系数行列式 $D \neq0$,则奇次线性方程组没有非零解。

因为 $D \neq0$，说明解只有一个，而零解又是一定存在的，那么该解就只能是零解了。 如果奇次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式 $D =0$

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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