【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（11）：欧拉图

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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（3）：路径与连通

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（4）：有向图的连通性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（5）：树及其性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（6）：生成树算法

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（7）：连通度

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（8）：割边、割集、割点

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（9）：匹配的概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理

6.1 欧拉图

定义 6.1

设 $G=(V, E)$是连通无向图

巡回

经过 $G$的每边至少一次闭通路

从起点出发，要求必须回到起点 即终点就是起点

欧拉巡回

经过 $G$的每边正好一次都巡回

经过每条边只能为1次 且恰好可以回到起点

欧拉图

存在欧拉巡回的图

欧拉道路

经过 $G$的每边正好一次的道路

可以不需要回到起点 只要求经过所有的边且只经过一次

定理 6.1

$G$是非空连通图，则下面命题等价

• $G$是欧拉图
• $G$无齐次顶点
• $G=\bigcup_{i=1}^{d}C_i,\quad G_i$是圈，且 $E(G_i)\cap E(G_j)=\phi(i\neq j)$

---

证明： $G$是欧拉图 $\Rightarrow$ $G$无齐次顶点

因为 $G$是欧拉图，则必然存在一条欧拉巡回

设 $W$是 $G$中的欧拉巡回，得到

$\forall V \in V(G)$， $v$一定会在 $W$上出现

设 $v$出现了 $k$次

则 $d(v) = 2k$

即 $v$是偶数次的

$v$具有任意性，故 $G$是欧拉图 $\Rightarrow$ $G$无齐次顶点

当 $v$不是起点或终点时，在欧拉巡回 $W$中出现一次则度数一定是2 （前、后必定会连接一个顶点） 当 $v$是起点或终点时，度数也是2，因为起点和终点在欧拉巡回中是同一个点 综上，对于 $W$中任意一个点，出现一次，度数+2

证明： $G$无齐次顶点 $\Rightarrow$ $G=\bigcup_{i=1}^{d}C_i,\quad G_i$是圈，且 $E(G_i)\cap E(G_j)=\phi(i\neq j)$

因为 $G$无齐次顶点且为非空连通图，可得

$\delta(G)\geq 2$

从而 $G$中必有圈 $C_1$

令 $G_1 = G- E(C_1)$，则 $G_1$中仍然没有奇次顶点

因为圈中任意一个顶点都连接两条边，度数为2 去掉圈中一个点的边相当于度数减2 原图 $G$中任意一个点的度数都为偶数，再减去2，依然为偶数 故 $G_1 = G- E(C_1)$中无奇次顶点

若此时 $G_1$中无边，则 $G=G_1$，证明完成

若此时 $G_1$中还有边，则 $G_1$中的每个连通片中必定也是无奇次顶点的

说明 $G_1$中连通片也是存在圈的

再去掉 $G_1$中的一个圈 $C_2$

得到 $G_2$

$...........$

经过有限次数的迭代，去除圈

最后一定可以得到一个无边图 $G_d$，所以有

$G = \bigcup_{i=1}^{d}C_i$

$C_i$是 $G$中的一个圈，且 $E(G_i)\cap E(G_j)=\phi \quad(i\neq j,1\leq i,j \leq d)$

可以理解为： $G$是由有限个圈 $C_i$构成 且这些圈之间都没有边交集

证明： $G=\bigcup_{i=1}^{d}C_i,\quad G_i$是圈，且 $E(G_i)\cap E(G_j)=\phi(i\neq j)$ $\Rightarrow$ $G$是欧拉图

当 $d=1$时， $G$是欧拉图

$d=1$，说明 $G$由一个圈组成，则必定存在一个欧拉巡回，故为欧拉图

当 $d\geq 2$时

设 $G$中有两圈 $C_1$和 $C_2$

因为 $G$是连通的，且 $E(G_i)\cap E(G_j)=\phi$

所以 $C_1$与 $C_2$至少有一个公共顶点 $v_1$

则可以得到 $C_1\cup C_2$是一条闭道路

$C_1\cup C_2$存在一个欧拉巡回 从 $v_1$出发，先行遍 $C_1$ 回到 $v_1$，再行遍 $C_2$，最后可以回到 $v_1$

则 $C_1\cup C_2$是一个欧拉图

同理， $C_1\cup C_2\cup .... \cup C_d$都是欧拉图

故 $G=\bigcup_{i=1}^{d}C_i,\quad G_i$是圈，且 $E(G_i)\cap E(G_j)=\phi(i\neq j)$ $\Rightarrow$ $G$是欧拉图

推论 6.1

设 $G$是非平凡连通图

$G$有欧拉道路的充要条件是 $G$最多只有两个奇次顶点

---

证明

证必要性： $G$有欧拉道路 $\Rightarrow$ $G$最多只有两个奇次顶点

设 $G$中一条欧拉道路为 $P$

$P=v_0e_1v_1e_2v_2....e_xv_x$

在这条道路中，除了起点和终点外，都是偶次顶点

不一定度数都等于2 因为欧拉道路中只是每条边出现了一次，顶点出现的次数可能不止一次

当起点和终点不是同一个点时，起点和终点度数则都是奇数

党起点和终点是同一个点时，起点和终点度数都是偶数

综上： $G$有欧拉道路 $\Rightarrow$ $G$最多只有两个奇次顶点

个人感觉：奇次顶点个数不是0个 就是 2个

证充分性： $G$最多只有两个奇次顶点 \Rightarrow$$G有欧拉道路

若 $G$中无奇次顶点

由定理6.1可知道， $G$是欧拉图

则一定有一条欧拉巡回，也就一定有一条欧拉道路

欧拉巡回要求更严格，不仅需要每条边只可以走一次，还需要最后回到起点 而欧拉道路要求相对松一点，不需要最后回到起点，只要求每条边走一次，且走完所有边即可 即有一条欧拉巡回，就一定有一条欧拉道路

若 $G$中恰好有两个奇次顶点时，设为 $u$和 $v$

则 $G+e(uv)$无奇次顶点

故 $G+e(uv)$中有一条欧拉巡回 $C$

$C=ueve_1v_1....e_xu$

于是

$C-e=ve_1v_1....e_xu$

就是 $G$中的一条欧拉道路

综上： $G$最多只有两个奇次顶点 \Rightarrow$$G有欧拉道路

结语

说明：

• 参考于 课本《图论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正