动态规划——最长公共子序列(洛谷P1439)

题目选自洛谷P1439

动态规划的模板题，最长公共子序列 

1、譬如给定2个序列：

1 2 3 4 5

3 2 1 4 5

试求出最长的公共子序列。

 那么 最普通的 LCS 代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[1001][1001],a1[2001],a2[2001],n,m;
int main()
{
   //dp[i][j]表示两个串从头开始，直到第一个串的第i位 
   //和第二个串的第j位最多有多少个公共子元素 
   cin>>n>>m;
   for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a1[i]);
   for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a2[i]);
   for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
     {
     	dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
     	if(a1[i]==a2[j])
     	dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
     	//因为更新，所以++； 
     }
   cout<<dp[n][m];
}

2、而对于洛谷P1439而言，不仅是卡上面的朴素算法，也考察到了全排列的性质：

对于这个题而言，朴素算法是n^2的，会被10^5卡死，所以我们可以考虑nlogn的做法：

因为两个序列都是1~n的全排列，那么两个序列元素互异且相同，也就是说只是位置不同罢了，那么我们通过一个map数组将A序列的数字在B序列中的位置表示出来——

因为最长公共子序列是按位向后比对的，所以a序列每个元素在b序列中的位置如果递增，就说明b中的这个数在a中的这个数整体位置偏后，可以考虑纳入LCS——那么就可以转变成nnlogn求用来记录新的位置的map数组中的**LIS**。

最后贴AC代码：

题目描述

给出 1,2,…,n 的两个排列 P1​ 和 P2​ ，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 n。

接下来两行，每行为 n 个数，为自然数 1,2,…,n 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

输入输出样例

输入 1

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出 1

3

说明/提示

• 对于 50% 的数据，n≤10^3；
• 对于 100% 的数据，n≤10^5。

 解题代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int a[100001],b[100001],mp[100001],f[100001];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);mp[a[i]]=i;}
	for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&b[i]);f[i]=0x7fffffff;}
	int len=0;
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int l=0,r=len,mid;
		if(mp[b[i]]>f[len])f[++len]=mp[b[i]];
		else 
		{
		while(l<r)
		{	
		    mid=(l+r)/2;
		    if(f[mid]>mp[b[i]])r=mid;
			else l=mid+1; 
		}
		f[l]=min(mp[b[i]],f[l]);
     	}
    }
    cout<<len;
    return 0;
}