【训练题12：LCS转LIS】最长公共子序列 | 洛谷 P1439

最长公共子序列 | 洛谷 P1439

难度

$普及+/提高$
洛谷模板题

题意

给两个 $N$ 的全排列 $P_A$ 和 $P_B$
求两个全排列的 最长公共子序列（Longest Common Subsequence） 的长度。

数据范围

$N\le 10^5$

思路

• 若普通的动态规划这么一做，明显是 $O(N^2)$ 的，时间空间都炸掉。
• 我们需要使用： $LCS$转$LIS$大法！
• 
• 对 $P_A$ 向 $P_B$ 进行映射后，对每个位置的元素的对应下标进行倒序记录（见上绿色部分）。若找不到则为空集。
• 把所有记录储存成一个数组 $S$ ，则数组 $S$ 为：[4,2,5,3,1,4,2]
• 接下来，我们对$S$进行LIS。所得到的结果即为原LCS的答案。（证明易得略）。
• $LIS$的时间复杂度为严格 $O(N\log N)$
• 但是在某些极端情况（比如两个原数组都是充满一个字母‘A’），会退化到 $O(N^2\log N)$
• 但是这题的所有元素位置的映射只有一个，因此不会产生这种退化。

核心代码

时间复杂度 $O(N\log N)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 1e5+50;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int pos[MAX];
int aa[MAX];
int dp[MAX];
int main()
{
    
    
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;++i){
    
    
        int t;scanf("%d",&t);
        pos[t] = i;
    }
    fill(dp,dp+MAX,INF);
    for(int i = 1;i <= n;++i){
    
    
        int t;scanf("%d",&t);
        aa[i] = pos[t];
        int p = lower_bound(dp,dp+MAX,aa[i]) - dp;
        dp[p] = aa[i];
    }
    int ans = 0;
    for(int j = 0;j < MAX;++j){
    
    
        if(dp[j] == INF){
    
    
            cout << j;
            break;
        }
    }
    return 0;
}