多目标优化基础

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1 多目标优化概念

多目标优化的数学模型为：
求 x = { x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n } ∈ D x=\lbrace x_1,x_2,···,x_n \rbrace \in D x={ x1​,x2​,⋅⋅⋅,xn​}∈D
m i n F ( x ) = { f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . f n ( x ) } minF(x)=\lbrace f_1(x),f_2(x),...f_n(x) \rbrace minF(x)={ f1​(x),f2​(x),...fn​(x)}
$$s.t.\{\begin{array}{ll}{h}_i(x)=0& l=1,2,...,L\\ g_m(x)\le 0& m=1,2,...,M\end{array}$$
式中，n为自变量x的维数；N为函数F(x)的维数；L为等式约束的数目；M为不等式约束的数目。

• 诸目标可能不一致
• 绝对最优解(对每一个目标函数而言都是最优的)往往不存在
• 往往无法比较两个可行解的优劣

1.1 有效解

设多目标优化问题的可行域为D，$x^{\ast }\in D$，如果不存在$x\in D$，使得$F(x)\le F(x^{\ast })$，则$x^{\ast }$称该多目标最优化问题的的有效解，也叫Pareto最优解。称有效解的全体为有效解集。

1.2 目标归一化

目标归一化就是将多目标问题转化成单目标问题，来达到求解原问题的方法。

线性加权组合
$$F(x)=\sum _{i=1}^N{\omega }_i{f}_i(x)$$
目标规划
$$F(x)=\sum _{i=1}^N[\frac{f_i(x)-f_i^{\ast }}{f_i^{\ast }}{]}^2$$

乘除法
以越小越好的目标函数的乘积除以越大越好的目标函数的乘积
$$F(x)=\frac{\prod _{i=1}^N{f}_i(x)}{\prod _{i=N_1+1}^N{f}_i(x)}$$