多目标优化_学习笔记（一）

前言

本篇博客出于学习交流目的，主要是用来记录自己学习多目标优化中遇到的问题和心路历程，方便之后回顾。过程中可能引用其他大牛的博客，文末会给出相应链接，侵删！

REMARK：本人纯小白一枚，0基础，如有理解错误还望大家能够指出，相互交流。也是第一次以博客的形式记录，文笔烂到自己都看不下去，哈哈哈

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在本篇正文中主要推荐个人觉得有帮助的文章以及分析自己对Pareto的相关定义的理解，笔者在刚开始时候毫无头绪，希望下面的一些基础能对不幸看到这篇博客的你有一点点小帮助。

正文

在多目标优化问题中，有许多预备知识需要具备，许多繁琐的基础概念我就不赘述了（摊手）。可以参考多目标优化这篇文章，作者给出了比较综合的叙述。如果有需要了解粒子群算法，遗传算法，蚁群算法可以参考以下链接：

粒子群算法系列文章 作者比较系统的讲解了粒子群算法，包括其主要变种方向。
蚁群算法 作者给出了一个在线网页模型，有助于理解。

在多目标优化问题中有许多算法都是基于Pareto支配关系的，知乎上如何通俗的理解Pareto的生动例子有助于我等小白理解其现实意义。下面给出Pareto的数学形式和定义。

定义

Definition 1: 多目标优化问题(multi-objective optimization problem(MOP))

$$F(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))\\ s.t. \; x\in \Omega$$
$F(x)$为多目标优化结果， $f_1(x),\cdots,f_m(x)$为目标分量，m为目标数。

Definition 2: Pareto支配(Pareto Dominance)

在最小化优化问题中，当且仅当$\forall{i}\in\{1,2,...,m\}$, $f_i(x) \leq f_i(y)$, 且 $\exists {j} \in \{1,2,...,m\}$ s.t.$\; f_j(x)<f_j(y)$，我们称 $x$支配$y$ (有些场合也称为 $x$占优于$y$ ),记作 $x \prec y$ 。

换句话说，在最小化优化问题中，$x$至少存在一个目标分量中小于$y$，并且其他目标分量也不会比$y$大，我们希望得到尽量小的解，那么越小就越优，开始的时候我纠结过为什么用 ‘$\prec$ ’符号，$x$ 更优秀不是应该用‘$\succ$’符号？ 在阅读NSGA-II算法后，我理解的是，越优的解所处的前沿面序号越小，所以使用‘$x\prec y$ ’表示$x$支配$y$。

Definition 3: Pareto最优解(Pareto Optimal Solution)

如果一个解$x^*$被称之为Pareto optimal solution， 当且仅当 $x^*$不被其他的解支配。

Definition 4: Pareto 集(Pareto Set)

一个多目标优化问题（MOP），对于一组给定的最优解集，如果这个集合中的解是相互非支配的，也即两两不是支配关系，那么则称这个解集为Pareto Set 。

如上图所示，每个黑点都表示为Pareto optimal solution，而每个红点至少被一个黑点支配，黑色点组成的集合即为$f_1,f_2$ 2目标优化中的Pareto Set。

Definition 5: Pareto 前沿(Pareto Front)

Pareto Set 中每个解对应的目标值向量组成的集合称之为Pareto Front, 简称为PF。

总结

本篇博客对刚涉足多目标优化的人可能会有所帮助。

参考链接：
多目标优化
粒子群算法系列文章
蚁群算法
如何通俗的理解Pareto
多目标进化算法(MOEA)概述
多目标优化系列（一）NSGA-Ⅱ