多目标狼群优化算法（MGWO）

GWO简介

Mirjalili 等人于2014年提出来的一种群智能优化算法。该算法受到了灰狼捕食猎物活动的启发而开发的一种优化搜索方法，它具有较强的收敛性能、参数少、易实现等特点。
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社会等级分层：初始化种群，将适应度最好的三个个体标记为 $\alpha 、\beta 、\sigma$,剩下的狼群为$\omega$,GWO优化过程中主要由每代种群中三个最好的解来指导完成。

位置更新计算

左边图中表示二维的向量及可能的区域，可以看出灰狼的位置根据中间猎物的位置$(X^{\ast },Y^{\ast })$进行更新,通过调节$\overrightarrow{A},\overrightarrow{D}$的值，可以到猎物周围不同的地方。图中为$\overrightarrow{A}=(0,1),\overrightarrow{D}=\overrightarrow{(}1,1)$的情况。
$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{D}=|\overrightarrow{C}\cdot {\overrightarrow{X}}_p(t)-\overrightarrow{X}(t)|\\ & \overrightarrow{A}=2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{\alpha }\\ & \overrightarrow{C}=2\cdot \overrightarrow{r_2}\\ & \overrightarrow{X}(t+1)={\overrightarrow{X}}_p(t)-\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{D}\end{array}$$
A是[-2,2]，随着迭代次数增加线性减少到[-1,1]，此时个体还在对猎物进行广泛搜索，当|A|<1时，开始袭击猎物。$r_1,r_2$是[0,1]之间的随机数。种群中所有个体位置更新计算根据上述公式进行计算。
$$\begin{array}{rl}& {\overrightarrow{D}}_{\alpha }=|\overrightarrow{C_1}\cdot {\overrightarrow{X}}_{\alpha }-\overrightarrow{X}|\\ & {\overrightarrow{D}}_{\beta }=|\overrightarrow{C_2}\cdot {\overrightarrow{X}}_{\beta }-\overrightarrow{X}|\\ & {\overrightarrow{D}}_{\sigma }=|\overrightarrow{C_3}\cdot {\overrightarrow{X}}_{\sigma }-\overrightarrow{X}|\\ & \overrightarrow{X_1}=\overrightarrow{X_{\alpha }}-\overrightarrow{A_1}\cdot (\overrightarrow{D_{\alpha }})\\ & \overrightarrow{X_2}=\overrightarrow{X_{\beta }}-\overrightarrow{A_2}\cdot (\overrightarrow{D_{\beta }})\\ & \overrightarrow{X_3}=\overrightarrow{X_{\sigma }}-\overrightarrow{A_3}\cdot (\overrightarrow{D_{\sigma }})\\ & \overrightarrow{X}(t+1)=\frac{\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2}+\overrightarrow{X_3}}{3}\end{array}$$
上述公式是根据$\alpha \beta \sigma$三只狼来指导狼群中所有狼群位置更新的公式。

MGWO算法流程

Step1：初始化狼群，计算种群中的非支配解集Archive（大小确定），对Archive中的解进行网格计算求网格坐标值。
迭代开始
Step2：从初始Archive中根据网格选择$\alpha 、\beta 、\sigma$，根据三个解进行狼群中所有个体的位置更新。
Step3：全部位置更新之后，计算更新之后种群的非支配解集non_dominates。
Step4：Archive更新—将non_dominates与Archive合并后计算两者的非支配解集，判断是否超过规定的Archive大小，如果超过，根据网格坐标进行删除。
本次迭代结束
Step5：判断是否达到最大迭代次数，是，输出的Archive.否，转Step2.

for it=1:MaxIt
    a=2-it*((2)/MaxIt);
    for i=1:GreyWolves_num
        
        clear rep2
        clear rep3
        
        % Choose the alpha, beta, and delta grey wolves
        Delta=SelectLeader(Archive,beta);
        Beta=SelectLeader(Archive,beta);
        Alpha=SelectLeader(Archive,beta);
        
        % If there are less than three solutions in the least crowded
        % hypercube, the second least crowded hypercube is also found
        % to choose other leaders from.
        if size(Archive,1)>1
            counter=0;
            for newi=1:size(Archive,1)
                if sum(Delta.Position~=Archive(newi).Position)~=0%返回位置不同的个数
                    counter=counter+1;
                    rep2(counter,1)=Archive(newi);
                end
            end
            Beta=SelectLeader(rep2,beta);
        end
        
        % This scenario is the same if the second least crowded hypercube
        % has one solution, so the delta leader should be chosen from the
        % third least crowded hypercube.
        if size(Archive,1)>2
            counter=0;
            for newi=1:size(rep2,1)
                if sum(Beta.Position~=rep2(newi).Position)~=0
                    counter=counter+1;
                    rep3(counter,1)=rep2(newi);
                end
            end
            Alpha=SelectLeader(rep3,beta);
        end
        
        % Eq.(3.4) in the paper
        c=2.*rand(1, nVar);
        % Eq.(3.1) in the paper
        D=abs(c.*Delta.Position-GreyWolves(i).Position);
        % Eq.(3.3) in the paper
        A=2.*a.*rand(1, nVar)-a;
        % Eq.(3.8) in the paper
        X1=Delta.Position-A.*abs(D);
        
        
        % Eq.(3.4) in the paper
        c=2.*rand(1, nVar);
        % Eq.(3.1) in the paper
        D=abs(c.*Beta.Position-GreyWolves(i).Position);
        % Eq.(3.3) in the paper
        A=2.*a.*rand()-a;
        % Eq.(3.9) in the paper
        X2=Beta.Position-A.*abs(D);
        
        
        % Eq.(3.4) in the paper
        c=2.*rand(1, nVar);
        % Eq.(3.1) in the paper
        D=abs(c.*Alpha.Position-GreyWolves(i).Position);
        % Eq.(3.3) in the paper
        A=2.*a.*rand()-a;
        % Eq.(3.10) in the paper
        X3=Alpha.Position-A.*abs(D);
        
        % Eq.(3.11) in the paper
        GreyWolves(i).Position=(X1+X2+X3)./3;
        
        % Boundary checking
        GreyWolves(i).Position=min(max(GreyWolves(i).Position,lb),ub);
        
        GreyWolves(i).Cost=fobj(GreyWolves(i).Position')';
    end
    
    GreyWolves=DetermineDomination(GreyWolves);
    non_dominated_wolves=GetNonDominatedParticles(GreyWolves);
    
    Archive=[Archive
        non_dominated_wolves];
    
    Archive=DetermineDomination(Archive);
    Archive=GetNonDominatedParticles(Archive);
    
    for i=1:numel(Archive)
        [Archive(i).GridIndex Archive(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(Archive(i),G);
    end
    
    if numel(Archive)>Archive_size
        EXTRA=numel(Archive)-Archive_size;
        Archive=DeleteFromRep(Archive,EXTRA,gamma);
        
        Archive_costs=GetCosts(Archive);
        G=CreateHypercubes(Archive_costs,nGrid,alpha);
        
    end
    
    disp(['In iteration ' num2str(it) ': Number of solutions in the archive = ' num2str(numel(Archive))]);
    save results
    
    % Results
    
    costs=GetCosts(GreyWolves);
    Archive_costs=GetCosts(Archive);
    
    if drawing_flag==1
        hold off
        plot(costs(1,:),costs(2,:),'k.');
        hold on
        plot(Archive_costs(1,:),Archive_costs(2,:),'rd');
        legend('Grey wolves','Non-dominated solutions');
        drawnow
    end
    
end

相关论文：【Multi-objective grey wolf optimizer: A novel algorithm for multi-criterion optimization】