正交多项式族（勒让德多项式跟切比雪夫多项式）理论

简述

这里显示两种，分别是，勒让德多项式跟切比雪夫多项式

勒让德多项式

区间是 $x\in[-1, 1]$，权函数为$\rho(x)\equiv1$

$$P_0(x) = 1$$
$$P_n(x) = \frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$

得到勒让德多项式的首项为$\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$

所以首项系数为1的勒让德多项式，就是

$$P^*_n(x) = \frac{P_n(x)}{\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}}$$

即，

$$P^*_n(x) = \frac{n!}{(2n)!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$

正交性：

$$\int_{-1}^1P_n(x)P_m(x)dx$$
上式，当且仅当n=m时，非0，且值为 $\frac{2}{2n+1}$

奇偶性：

$$P_n(-x) = (-1)^nP_n(x)$$

递推性：

$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$$

在区间上有n个零点

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切比雪夫多项式

区间是 $x\in[-1, 1]$，权函数为$\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$$T_n(x) = \cos(n\arccos(x))$$

递推性：

$$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$$

正交性：
当n = m时有两种情况，

• n = m != 0: $\frac{\pi}{2}$
• n = m = 0 $\pi$

T_n(x) n为偶数，则只含有x的偶数幂；n为奇数的时候，就只含有x的奇数幂

零点问题：
同样，包含有n个零点，但是有公式可以直接获得答案

$$x_k = cos\frac{2k-1}{2n}\pi$$
$$k = 1， 2，3， ... , n$$

首项问题：
$P_n(x)$首项系数为 $2^{n-1}$