本文主要介绍动态规划算法求解01背包问题。什么是01背包问题？什么是动态规划？动态规划怎么求解01背包问题？通过阅读本文能够解答上面的三个问题。
1、什么是01背包问题？
01背包问题是一种比较常见的问题，例如，你(或者你女盆友)有一个lv包包，出门的时候发现容量V固定，但是又要装口红，装防晒霜，装银行卡，装钥匙，装眼镜，装护手霜，装…，每种物品只能装一个，（是不是发现女人出门真麻烦？这也是女人最有智慧的地方，每次都能够快速的完成01背包问题的求解），需要装的这些东西呢只能选择装或者不装，每个物品的空间大小不一样，把这些物品的体积进行符号化，Ti （i=1,2…N）一共N个。但是每个物品在你心目中的重要程度不一样，比如，要出去购物，银行卡，手机是非常重要的，而口红可能重要性比较低，我们队每个物品Wi的权重符号化，设为 Wi. 将上面的符号汇总一下：
V: lv包包的最大容量
N: 物品的个数
Ti: 物品i的体积
Wi: 物品的权重
那么问题来了，在LV包包容量V固定且能够装下，每种物品只能取一次的情况下，需要装哪些物品，才能是的总权重最大化呢？这就是我们说的01背包问题。
2、什么是动态规划？
大家经常以为动态规划算法不像排序算法，递归算法等比较容易理解，其实，只要你记住了动态规划的核心器件，你就能够很容易的理解它并且用来解决问题。
动态规划，首先它是动态的，那么它当前的状态就要依赖前一次的状态，即状态转移，对前面的依赖，因此就需要一个状态表，来记录不同情况下的状态。上面表黑的两个是动态规划最重要的两个因素，一个是状态表，一个是状态转移，下面对他们进行数学表达：
状态： f[i][j] 选择前i个物品，体积为j时的最优方案，即所选物品的最大权重和。
状态转移：f[i][j] = max(f[i-1][j-Ti]+Wi, f[i-1][j]) 前i个物品，体积为j时的最优值= 最大值(包含i个物品的最优值 ， 前i-1个物品体积为j时的最优值）
2.1 动态规划状态
f[i][j]为状态，i代表当前从前i个物品中选择，背包的最大容量为j时，选择出来的物品的权重和的最大值。给大家举个栗子：
LV包包容量：10， f[3][7]是多少？
| 物品 | 物品体积 | 物品权重 |
|---|---|---|
| 手机 | 5 | 10 |
| 银行卡 | 1 | 10 |
| 口红 | 2 | 1 |
| 车钥匙 | 3 | 10 |
| 护手霜 | 3 | 2 |
通过表格可以看出，容量为7时，选择手机和银行卡的最终的权重和最大是20，即f[3][6] = 20
2.2 状态转移方程
状态转移方程是动态规划最重要的一步，下面详细介绍一下状态转移方程的由来。
状态转移：f[i][j] = max(f[i-1][j-Ti]+Wi, f[i-1][j])
从前i-1个物品中体积最大为j时最优解为f[i-1][j], 从i-1状态转移到i时，只需要考虑f[i][j]的最优解中包不包含第i个物品两种情况（大家仔细琢磨一下这一句）。
1）包含第i个物品：表示当前物品比前i个物品性价比高，能够替换掉一个 表达式：f[i-1][j-Ti]+Wi 表示从j中除去Ti的空间时的最优值然后加上当前第i个物品的权重。
2）第i个物品定价比低，无法替换掉i-1个物品，依然保持i-1状态的值，表达式： f[i-1][j]
因此，转移方程为：f[i][j] = max(f[i-1][j-Ti]+Wi, f[i-1][j])
下面用事实说话，上栗子：
我们把i=3的所有状态计算出来。
| f[3][1] | f[3][2] | f[3][3] | f[3][4] | f[3][5] | f[3][6] | f[3][7] | f[3][8] | f[3][9] | f[3][10] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 10 | 11 | 11 | 10 | 20 | 20 | 21 | 21 | 21 |
1）f[i][j]包含第i个物品的情况
计算f[4][10]，从信息表中可以得出，选择手机，银行卡，车钥匙 最终值为30，包含第4个物品车钥匙
我们用状态转移方程：
f[4][10] = max(f[3][10], f[3][10 - 3] + 10)
= max(21, f[3][7] + 10)
= max(21, 20 + 10) = 30
- f[i][j]不包含第j个物品的情况
f[3][7] ，从信息表中可以得出，选择手机，银行卡最终值为20，不包含第3个物品口红
我们用状态转移方程：
f[3][7] = max(f[2][7], f[2][7 - 2] + 1)
= max(20, f[2][5] + 1) // f[2][5] = 10 f[2][7] = 20
= max(20, 1) = 20
3、怎么求解01背包问题？
练习题：01背包问题
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
代码：
#include<stdio.h>
int f[1050][1050];
int v[1050];
int w[1050];
int max(int a, int b)
{
if (a > b) {
return a;
}
return b;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
if (v[i] > j) {
// 防止数组越界
f[i][j] = f[i - 1][j];
continue;
}
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
printf("%d\n", f[n][m]);
}
代码优化
通过上面的分析可以发现，f[i][j]的值仅仅与依赖i-1时的状态，因此，代码中无需使用二维的f[i][j]进行存储，使用一维的f[j]进行存储，减少程序的空间。
使用一维f，可能会有一个疑问：如果j从小到大的顺序依次更新f[j]的值，因此，在计算f[7] = max(f[7], f[7 - 3] + 10)时，括号内的f[4]已经是i时刻的值了，而非i-1时刻的值了，这个问题怎么解决呢？
聪明的朋友已经想到了：f[j] 的值在更新的时候，按照j从大到小的顺序依次更新，这样在计算f[7] = max(f[7], f[7 - 3] + 10)时，f[4]还未更新，还是i-1时刻的状态值，因此，这个问题就解决了，上代码。
#include<stdio.h>
int f[1050];
int v[1050];
int w[1050];
int max(int a, int b)
{
if (a > b) {
return a;
}
return b;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= 1; j-- ) {
//j从大到小的方向更新
if (v[i] > j) {
// 防止数组越界
continue;
}
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
printf("%d\n", f[m]);
}