问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
题目分析：从N种物品中选择m种商品放入容量为C的背包，v1+v2+v3+……+vm最大，即求最优解，这里我们使用动态规划来解决该问题。题目需要求解背包容量为C时的最优解，那么我们可以分解问题，让背包容量从1增加到C，依次求解容量为1时的最优解、容量为2时的最优解；那么基于动态规划求最优解的性质——将子问题的最优解集合之后就是总问题的最优解，我们即可求得背包问题的最优解。
动态规划：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
实现思路：声明一个数组table[N+1][C+1]，table[i][j]表示在背包容量为 j 、选择第 i 件商品的时候所能获得商品的最大价值。现在我们需要实现一个函数 initTable(int[] value, int[] weight, int N, int capacity)，该函数用来初始化这个table，value[i]数组表示第 i 个商品的价值（i 从1开始计算），weight[i] 表示第 i 个商品的权值，即所占背包的容量。
面对一个商品，我们有装入背包和不装入背包两种选择，那么我们来分析一下table[i][j] 的计算方法。
（1） j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿：m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
（2） j >= w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
拿：table[i ][j] = table[ i-1 ][ j - weight[i] ] + value[ i ]
不拿：table[i ][j] = table[ i - 1 ][ j ]
我们需要比较两种情况下的table[i ][j]值，做出相应选择。
现在我们写出实现代码：
/**
* 初始化table，table右下角的值即为最优解
* @param value 价值数组
* @param weight 权值数组
* @param N 商品种类
* @param capacity 背包容量
* @return table
*/
private static int[][] initTable(int[] value, int[] weight, int N, int capacity) {
if(value.length != weight.length) {
System.out.println("参数value、weight有误");
return null;
}
int[][] table = new int[N + 1][capacity + 1];
for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int j = 1; j <= capacity; j++) {
if(j < weight[i]) {//装不下
table[i][j] = table[i-1][j];
} else {//能装下
if(table[i-1][j] > (table[i-1][j-weight[i]] + value[i])) {//不装i价值更大
table[i][j] = table[i-1][j];
} else {//装了i价值更大
table[i][j] = table[i-1][j-weight[i]] + value[i];
}
}
}
}
return table;
}
这样就可以得到最优解了，最优解是table[N] [ capacity ]。可是，我们还想获得选择了哪几种商品，这又该怎么实现呢？这里我们知道了最优解，那么我们可以使用逆向思维来思考一下， 最优解是 table[ i ] [ j ] ，那么table[ i ] [ j ] = table[ i -1 ] [ j ] 或者 table[ i - 1 ] [ j - weight [i] ] + value[i]， 我们可以根据初始化table的思路来进行求解：
1) table[ i ][ j ] = table[ i -1 ] [ j ] 时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；
2)table[ i ][ j ] = table[ i - 1 ] [ j - weight [i] ] + value[i]时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
3) 一直遍历到 i < 0结束为止，所有解的组成都会找到。
代码如下：
/**
* 通过回溯获得选择的商品：根据最优解回溯找出解的组成
* @param i
* @param j
* @param table 信息记录表
* @param weight 权值数组
* @param value 价值数组
* @param result 返回结果数组
*/
private static void findChoice(int i, int j, int[][] table, int[] weight, int[] value, int[] result) {
if(i > 0) {
if(table[i][j] == table[i-1][j]) {//没有选择第i个商品
result[i] = 0;
findChoice(i-1, j, table, weight, value, result);
} else if(table[i][j] == (table[i-1][j-weight[i]] + value[i])) {//选择了第i个商品
result[i] = 1;
findChoice(i-1, j-weight[i], table, weight, value, result);
}
}
}
main函数测试如下：
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = 0;
int capacity;
int[] value;
int[] weight;
//初始化数据
//输入格式： 4 8//输入商品种类（N）和背包容量（capacity）
// 2 3 4 5//输入每类商品的权值（占用背包容量的值）
// 3 4 5 6//输入每类商品的价值
N = sc.nextInt();
capacity = sc.nextInt();
if(N <= 0) {
System.out.println("输入参数N有误");
return;
}
value = new int[N+1];
weight = new int[N+1];
for(int i = 1; i <= N; i++) {//初始化权值数组
weight[i] = sc.nextInt();
}
for(int i = 1; i <= N; i++) {//初始化价值数组
value[i] = sc.nextInt();
}
int[][] table = initTable(value, weight, N, capacity);
System.out.println("最优解：" + table[N][capacity]);
int[] choice = new int[N+1];
findChoice(N, capacity, table, weight, value, choice);
System.out.println("选择商品数组，1表示选择，0表示没有选择:" + Arrays.toString(choice));
sc.close();
}