算法之动态规划（DP）求解01背包问题
上面这篇文章主要讲解了01背包问题和动态规划算法，如果你不了解动态规划算法，建议先浏览一下这篇文章熟悉一下，因为，本文的算法思想是基于这篇文章的。
1、什么是完全背包问题？
01背包问题：有一个背包的容积为V，有N个物品，每个物品的体积为v[i]，权重为w[i]，每个物品只能取1次放入背包中，背包所有物品权重和最大是多少？
完全背包 ：有一个背包的容积为V，有N个物品，每个物品的体积为v[i]，权重为w[i]，每个物品可以取无限次放入背包中，背包所有物品权重和最大是多少？
01背包问题和完全背包问题的区别就在于，每个物品取的最大次数是1次还是无限次。
2、动态规划的状态和转移方程
参考01背包的状态和转移方程，来推导完全背包的状态和转移方程。
01背包问题的状态和转移方程：
状态： f[i][j] 选择前i个物品，体积为j时的最优方案，即所选物品的最大权重和。
状态转移：f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i]]+w[i], f[i-1][j])
现在物品可以取无数次，那么f[i][j]怎么构造合适呢？
完全背包，有N个物品，背包容量V，最终求解背包的最大权重，因此，完全背包和 01背包这些都一致，因此，状态一致。f[i][j] 选择前i个物品，体积为j时的最优方案，即所选物品的最大权重和。
状态转移方程如何构造呢？
01背包问题每次增加第i物品时，因为只能取一次，从j中减去v[i]，再加上w[i]，这个操作只进行了一次。现在可以增加无数次，大家想想，怎么做呢？
大家可以留出5秒钟的时间来思考…
时间到，聪明的朋友肯定想到了，第i个物品可以增加0次（即f[i-1][j]），增加1次，增加2次，增加3次…增加k-1次，（这里k*v[i] > j），然后求所有值的最大值作为f[i][j]的值。
因此我们可以写出状态和状态转移方程：
状态： f[i][j] 选择前i个物品，体积为j时的最优方案，即所选物品的最大权重和。
状态转移：f[i][j] = max(f[i-1][j- k * v[i]]+ k * w[i] (k= 0, 1, 2, 3, 4,...))
恭喜你，完全背包问题已经被你攻克了，下面来看一下代码吧。
3、代码
练习题：完全背包问题
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
程序：
白银级代码
#include<stdio.h>
int f[1050][1050];
int v[1050];
int w[1050];
int max(int a, int b)
{
if (a > b) {
return a;
}
return b;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d", &v[i], &w[i]);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (v[i] > j) {
// 防止数组越界
continue;
}
for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++) {
// 添加k个物品i
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
}
}
printf("%d\n", f[n][m]);
}
代码优化
作为一个研究算法的coding farmer，不对算法精益求精的进行优化，那就不叫学习算法。
如果你是高手，肯定发现了上面代码中有很多可以优化的地方，不妨花3分钟尝试找一下优化点吧。
优化点：
黄金级：
1）if (v[i] > j) 可以优化到 for (int j = 1; j <= m; j ++ ) 中，优化后为：
for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) {
......
}
2）w[] 和 v[]可以优化掉。代码中的v和w数组使用仅限于i状态下，因此，可以定义两个变量，v和w，在for (int i = 1; i <= n; i ++ )中输入即可，优化后：
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int v, w;
scanf("%d %d", &v, &w);
}
铂金级：
二维数组f可以优化成一维的f，具体优化可以参考这篇文章，这里不过多介绍。
王者级：：
从状态转移方程下手：f[i][j] = max(f[i-1][j- k * v[i]]+ k * w[i] (k= 0, 1, 2, 3, 4,…))
方程拆开：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j - v[i]]+w[i], f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i], f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i] ,......)
使用代入法，将j= j-v[i]带入上面的方程中得到：
f[i][j-v[i]] = max(f[i-1][j-v[i]], f[i-1][j - 2*v[i]]+w[i], f[i-1][j-3*v[i]]+2*w[i], f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i] ,......)
对比第二个和第一个方程，我们发现，方程1可以简化成：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j - v[i]] + w[i])
怎么看起来跟01背包模型的好像啊，我们对比一下：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j - v[i]] + w[i]) // 01背包
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i ][j - v[i]] + w[i]) // 完全背包
发现了区别在下标从i-1变为i。为什么呢？
f[i][j - v[i]] 已经将除去1个物品i时的所有最优解已经求出来了，因此在计算f[i][j]时，无需再重复计算k=2,3,4,5…时的值了。
好了，上最终的代码了：
#include<stdio.h>
int f[1050];
int main()
{
int n,m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int v,w;
scanf("%d %d", &v, &w);
for (int j = v; j <= m; j++ ) {
f[j] = (f[j] > f[j - v] + w) ? f[j] :f[j - v] + w;
}
}
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}