最大公约数
指两个或多个整数共有约数中最大的一个
质因数分解法
质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如
6=2*3
4=2*2
相同的有2
所以2就是4,6的最大公约数
辗转相除法
辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。
例如
120 50
120%50=20
50%20=10
20%10=0
10就是120和50的最大公约数
代码
int gcd(int a,int b)
{
if(a%b==0){
return b;
}
else{
//cout<<b<<" "<<(a%b)<<endl;
gcd(b,a%b);
}
}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
if(a%b==0){
return b;
}
else{
//cout<<b<<" "<<(a%b)<<endl;
gcd(b,a%b);
}
}
int main()
{
int a=50;
int b=120;
cout<<gcd(a,b);
}
不知道大家和我有没有一样的疑问，原来我认为我写的这个函数只有a大于b的才能运行，其实不然，不管a大于b还是a小于b都是一样的
最小公倍数
当会了最大公因数后，最小公倍数就很简单了
a和b的最大公因数是d
a和b的最小公倍数就为 a*b/d 记住公式就可以了
但是注意一下， a*b有可能会溢出，爆出int的范围，所以更恰当的写法是 a/d*b
这里顺便也说一下 int的范围 大约在10的9次方左右
long long 的范围在10的18次方左右
有时候根据题目给的范围选择合适的，如果发现出现了负数或者数字很离谱很有可能就是溢出的原因
素数
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数
普通方法求素数
bool isprime(int n){
if(n<=1){
return false;
}
int sqr=(int)sqrt(n*1.0);
for(int i=2;i<=sqr;i++){
if(n%i==0){
return false;
}
}
return true;
}
大家想想为什么可以通过求根号来优化算法
埃氏筛选法
素数的倍数一定不是素数
埃氏筛选法的思想:首先将2到n范围内的整数写下来，其中2是最小的素数。将表
中所有的2的倍数划去，表中剩下的最小的数字就是3，他不能被更小的数整除，
所以3是素数。再将表中所有的3的倍数划去……以此类推，如果表中剩余的最小的
数是m，那么m就是素数。然后将表中所有m的倍数划去，像这样反复操作，就能依
次枚举n以内的素数。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int ans[maxn]; //全局变量自动赋值为0
bool pri[maxn];
int num;
void findprime()
{
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(pri[i]==0){
ans[num++]=i;
for(int j=i+i;j<maxn;j+=i)
{
pri[j]=true;
}
}
}
}
int main()
{
findprime();//注意一定不要忘记调用函数了
for(int i=0;i<100;i++){
cout<<ans[i]<<" ";
if(i%10==0){
cout<<endl;
}
}
return 0;
}
线性筛（了解即可）
线性筛的核心就是每次晒的时候保证是用在小质因子筛去的
线性筛法-O(n), n = 1e7的时候基本就比埃式筛法快一倍了
当n比较小的时候两种筛法速度差不多
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int n,num;
int ans[maxn];//ans数组用来存放质数
bool p[maxn];//p[i], i为质数则为false否则为true
void find_prime(int n){
for(int i=2;i<=n;i++){
if(p[i]==false){
ans[num++]=i;
}
for(int j=0;j<num&&ans[j]<=n/i;j++){
//对于任意一个合数x，假设pj为x最小质因子，当i==x/pj时，一定会被筛掉
p[ans[j]*i]=true;
if(i%ans[j]==0){
break;
//1.i%pj == 0,因为pj是从小到大枚举的 pj定为i最小质因子，pj也定为pj*i最小质因子
//2.i%pj != 0, pj定小于i的所有质因子，所以pj也为pj*i最小质因子
}
}
}
}
大数运算，高精度
当有时候数字非常大的时候甚至都超出了longlong范围时，那我们该怎么算能，这就用到高精度算法了
这里提点题外话，python是真的香，本身就支持大数，也就是说苦逼的c语言要要写一大堆，别人python能直接算
高精度加法
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> a,b,c;
vector<int> add(vector<int> &a,vector<int> &b){
if(a.size()<b.size()){
return add(b,a);//一两个数最长的那个为基准
}
int t=0;
for(int i=0;i<a.size();i++){
t+=a[i];
if(i<b.size()){
//当b的当前位还有数的时候加b[i]
t+=b[i];
}
c.push_back(t%10);//当前位压入c
t=t/10;//进位
}
if(t){
c.push_back(t);//判断最高位是否有进位
}
return c;//别忘记返回
}
int main()
{
string s1,s2;
cin>>s1>>s2;
for(int i=s1.length()-1;i>=0;i--){
a.push_back(s1[i]-'0');
}
for(int i=s2.length()-1;i>=0;i--){
b.push_back(s2[i]-'0');
}
c=add(a,b);
for(int i=c.size()-1;i>=0;i--)
{
cout<<c[i];
}
}
高精度减法
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> a,b,c;
bool cmp(vector<int> a,vector<int> b){
//判断a和b谁大
if(a.size()!=b.size()){
return a.size()>b.size();//如果长度不相等，长度大的大
}
else{
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--){
//注意要从最高位开始比较
if(a[i]!=b[i]){
return a[i]>b[i];//如果长度相等，从最高位往最低为做比较大的大
}
}
return true;//相等返回真
}
}
vector<int> sub(vector<int> a,vector<int>b){
vector<int> c;
for(int i=0,t=0;i<a.size();i++){
//t是借位
t=a[i]-t;//当i小于b的长度时a[i]-b[i]-t 否则a[i]-t
if(i<b.size()){
t=t-b[i];
}
c.push_back((t+10)%10);//如果t小于0就向高位借一位，t大于0直接存起来。模10就把两种情况写一起
if(t<0){
t=1;
}
else{
t=0;
}
}
while(c.size()>1&&c.back()==0){
c.pop_back();//消除前导零
}
return c;//别忘记返回值
}
int main()
{
string s1,s2;
cin>>s1>>s2;
for(int i=s1.length()-1;i>=0;i--){
a.push_back(s1[i]-'0');
}
for(int i=s2.length()-1;i>=0;i--){
b.push_back(s2[i]-'0');
}
if(cmp(a,b))
{
c=sub(a,b);
}
else{
c=sub(b,a);
}
for(int i=c.size()-1;i>=0;i--)
{
cout<<c[i];
}
}
高精度乘法
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int> a,int b){
vector<int> c;
int t=0;
for(int i=0;i<a.size();i++){
t=a[i]*b+t;
c.push_back(t%10);
t=t/10;
}
while(t){
c.push_back(t%10);//可能有不止一位进位
t=t/10;
}
return c;
}
int main()
{
string s1;
vector<int> a,c;
int b;
cin>>s1>>b;
for(int i=s1.length()-1;i>=0;i--)
{
a.push_back(s1[i]-'0');
}
c=mul(a,b);
for(int i=c.size()-1;i>=0;i--){
cout<<c[i];
}
return 0;
}
高精度除法
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
vector<int> div(vector<int> a,int b,int &r){
vector<int> c;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--){
//从高位到低位除以除数
r=r*10+a[i];
c.push_back(r/b);
r=r%b;
}
reverse(c.begin(),c.end());
while(c.size()>1&&c.back()==0){
c.pop_back();//消除前导零
}
return c;
}
int main()
{
string s1;
vector<int> a,c;
int b,r=0;
cin>>s1>>b;
for(int i=s1.length()-1;i>=0;i--)
{
a.push_back(s1[i]-'0');
}
c=div(a,b,r);
for(int i=c.size()-1;i>=0;i--){
cout<<c[i];
}
cout<<endl<<r;//输出余数
return 0;
}