2020年4月蓝桥杯第二次模拟赛（C++）

1 容量单位

【问题描述】
在计算机存储中，12.5MB是多少字节？
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

答案

12.5 × 1024 × 1024 = 13107200

//TB MB KB Byte bit 换算关系
K是千 M是兆bai G是吉咖 T是太拉
8bit(位)=1Byte(字节)
1024Byte(字节)=1KB
1024KB=1MB
1024MB=1GB
1024GB=1TB

2 最多边数

【问题描述】
一个包含有2019个结点的有向图，最多包含多少条边？（不允许有重边）
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

答案

每一个起始顶点可以选择除了自己以外的所有顶点作为指向的顶点

N × （N-1）= 4074342

3 单词重排

【问题描述】
将LANQIAO中的字母重新排列，可以得到不同的单词，如LANQIAO、AAILNOQ等，注意这7个字母都要被用上，单词不一定有具体的英文意义。
请问，总共能排列如多少个不同的单词。
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

答案

采用插队法，首先选取两个相同的字母A，在它们的缝隙中插入

选出两个A之后还剩下五个
3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 2520

4 括号序列

【问题描述】
由1对括号，可以组成一种合法括号序列：()。
由2对括号，可以组成两种合法括号序列：()()、(())。
由4对括号组成的合法括号序列一共有多少种？
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

答案

用dfs模拟求解过程：
搜索的规定：先放左括号，再放右括号

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int ans = 0;
int N = 4;

void dfs(int l,int r)
{
    if(l==r&&r==4)
    {
        ans ++;
        return ;
    }
    
    if(l<4)
    {
        dfs(l+1,r);
    }
    
    if(l>r)
    {
        dfs(l,r+1);
    }
}


int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);
    dfs(0,0);
    
    cout << ans;

    return 0;
}

输出：14

5 反倍数

【问题描述】
给定三个整数 a, b, c，如果一个整数既不是 a 的整数倍也不是 b 的整数倍还不是 c 的整数倍，则这个数称为反倍数。
请问在 1 至 n 中有多少个反倍数。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n。
第二行包含三个整数 a, b, c，相邻两个数之间用一个空格分隔。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
30
2 3 6
【样例输出】
10
【样例说明】
以下这些数满足要求：1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29。
【评测用例规模与约定】
对于 40% 的评测用例，1 <= n <= 10000。
对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100000。
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000000，1 <= a <= n，1 <= b <= n，1 <= c <= n。

O(n) 10^7 可以勉强过

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);
    
    int N;
    int a,b,c;
    int count_ = 0;
    
    cin >> N >> a >> b >> c;
    
    for(int i = 1;i<=N;i++)
    {
        if(i%a&&i%b&&i%c)
            count_++;            
    } 
    cout << count_;
    
    return 0;
}

6 凯撒密码

【问题描述】
给定一个单词，请使用凯撒密码将这个单词加密。
凯撒密码是一种替换加密的技术，单词中的所有字母都在字母表上向后偏移3位后被替换成密文。即a变为d，b变为e，…，w变为z，x变为a，y变为b，z变为c。
例如，lanqiao会变成odqtldr。
【输入格式】
输入一行，包含一个单词，单词中只包含小写英文字母。
【输出格式】
输出一行，表示加密后的密文。
【样例输入】
lanqiao
【样例输出】
odqtldr
【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例，单词中的字母个数不超过100。

注意：x变为a，y变为b，z变为c

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);
    
   char a[105];
   int a_count = 'a';
   int MOD = 'z' + 1;
   
   cin >> a;
   
   for(int i = 0;i<strlen(a);i++)
   {
       if(a[i]+3>'z')
           printf("%c",(a[i] + 3)%MOD + 'a');
       else
          printf("%c",a[i] + 3); 
   } 
   return 0;
}

7 螺旋

【问题描述】
对于一个 n 行 m 列的表格，我们可以使用螺旋的方式给表格依次填上正整数，我们称填好的表格为一个螺旋矩阵。
例如，一个 4 行 5 列的螺旋矩阵如下：
1 2 3 4 5
14 15 16 17 6
13 20 19 18 7
12 11 10 9 8
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 n, m，分别表示螺旋矩阵的行数和列数。
第二行包含两个整数 r, c，表示要求的行号和列号。
【输出格式】
输出一个整数，表示螺旋矩阵中第 r 行第 c 列的元素的值。
【样例输入】
4 5
2 2
【样例输出】
15
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，2 <= n, m <= 20。
对于 70% 的评测用例，2 <= n, m <= 100。
对于所有评测用例，2 <= n, m <= 1000，1 <= r <= n，1 <= c <= m。

模拟

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int N,M;
int fx,fy;
int ans;
bool book[1005][1005];

int f()
{
    int x = 1,y = 1;
    int h = M,l = N;
    int th,tl;
    int step = 1;
    
    while(step<N*M)
    {
        th = h;
        tl = l;
        while(th&&y<M)
        {
            y ++;
            th --;
            step ++;
            if(x==fx&&y==fy)
                return ans = step;
        }
        l--;
        tl = l;
        while(tl&&x<N)
        {
            x ++;
            tl --;
            step ++;
            if(x==fx&&y==fy)
                return ans = step;
        }
        h--;
        th = h;
        while(th&&y>0)
        {
            y--;
            th --;
            step ++;
            if(x==fx&&y==fy)
                return ans = step;
        }
        l--;
        tl = l;
        while(tl&&x>0)
        {
            x--;
            tl --;
            step ++;
            if(x==fx&&y==fy)
                return ans = step;
        }
        h --;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&N,&M);
    scanf("%d%d",&fx,&fy);
    if(fx==1&&fy==1)
    {
        printf("1");
    }
    else
    {
        f();
        printf("%d",ans);
    }
    
    return 0;
}

8 摆动序列

【问题描述】
如果一个序列的奇数项都比前一项大，偶数项都比前一项小，则称为一个摆动序列。即 a[2i]<a[2i-1], a[2i+1]>a[2i]。
小明想知道，长度为 m，每个数都是 1 到 n 之间的正整数的摆动序列一共有多少个。
【输入格式】
输入一行包含两个整数 m，n。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。
【样例输入】
3 4
【样例输出】
14
【样例说明】
以下是符合要求的摆动序列：
2 1 2
2 1 3
2 1 4
3 1 2
3 1 3
3 1 4
3 2 3
3 2 4
4 1 2
4 1 3
4 1 4
4 2 3
4 2 4
4 3 4
【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 <= n, m <= 5；
对于 50% 的评测用例，1 <= n, m <= 10；
对于 80% 的评测用例，1 <= n, m <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n, m <= 1000。

非正解，供参考

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int M,N;
int ans;
bool book[1005];
int a[1005];

void print()
{
    for(int i = 1;i<=M;i++)
    {
        printf("%d ",a[i]);
    }
    printf("\n");
}

void dfs(int step)
{
    if(step>M)
    {
        ans ++;
        ans %= 10000;
        //print();
        return;
    }
    
    for(int i = 1;i<=N;i++)
    {
        if(step==1)
        {
            a[step] = i;
            dfs(step+1);
        }
        else if(step%2==1&&a[step-1]<i)
        {
            a[step] = i;
            dfs(step+1);
        }
        else if(step%2==0&&a[step-1]>i)
        {
            a[step] = i;
            dfs(step+1);
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);
    
    scanf("%d%d",&M,&N);
    dfs(1);
    printf("%d",ans);


    return 0;
}

9 通电

【问题描述】
2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。
这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。
现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为
sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。
由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。
接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。
【输出格式】
输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。
【样例输入】
4
1 1 3
9 9 7
8 8 6
4 5 4
【样例输出】
17.41
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。

最小生成树
Kruskal算法求解

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

struct node
{
    int x;
    int y;
    int h;
}edge[1005];

float e[1005];

struct node2
{
    int from;
    int to;
    float w;
}edge_[1000005];

int x,y;
int N;
int f[10005];
double sum;

int get_(int i)   //并查集查找祖先
{
    if(f[i]==i)
        return i;
    else
        return f[i] = get_(f[i]); //压缩路径
}

int merge_(int v,int u) //并查集合并
{
    int t1 = get_(v);
    int t2 = get_(u);
    if(t1 != t2)
    {
        f[t1] = t2;
        return 1;
    }
    return 0;
}

bool cmp(node2 a, node2 b)
{
    return a.w < b.w;
}

int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);
    int i,j,k = 1;
    int x_1,x_2,y_1,y_2,h_1,h_2;
    int count_ = 0;
    
    scanf("%d",&N);
    for(i = 1;i<=N;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].h);        
    }
    for(i = 1;i<=N;i++)
    {
        for(j = i+1;j<=N;j++)
        {
           // if(i==j)
                //continue;
                
            x_1 = edge[i].x; x_2 = edge[j].x;
            y_1 = edge[i].y; y_2 = edge[j].y;
            h_1 = edge[i].h; h_2 = edge[j].h;
            edge_[k].from = i;
            edge_[k].to = j;
            edge_[k].w = sqrt((x_1-x_2)*(x_1-x_2)+(y_1-y_2)*(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2);
            k ++;
        }
    }
    int M = k -1;
    sort(edge_+1, edge_+1+M, cmp);

    for(k = 1;k<=N;k++) //初始化并查集
        f[k] = k;

    for (j = 1; j <= M; j++)
    {
        if(merge_(edge_[j].from,edge_[j].to))
        {
            count_++;
            sum += edge_[j].w;
        }

        if(count_==N-1)
            break;
    }
    printf("%.2f",sum);

    return 0;
}

10 植树

【问题描述】
小明和朋友们一起去郊外植树，他们带了一些在自己实验室精心研究出的小树苗。
小明和朋友们一共有 n 个人，他们经过精心挑选，在一块空地上每个人挑选了一个适合植树的位置，总共 n 个。他们准备把自己带的树苗都植下去。
然而，他们遇到了一个困难：有的树苗比较大，而有的位置挨太近，导致两棵树植下去后会撞在一起。
他们将树看成一个圆，圆心在他们找的位置上。如果两棵树对应的圆相交，这两棵树就不适合同时植下（相切不受影响），称为两棵树冲突。
小明和朋友们决定先合计合计，只将其中的一部分树植下去，保证没有互相冲突的树。他们同时希望这些树所能覆盖的面积和（圆面积和）最大。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n ，表示人数，即准备植树的位置数。
接下来 n 行，每行三个整数 x, y, r，表示一棵树在空地上的横、纵坐标和半径。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示在不冲突下可以植树的面积和。由于每棵树的面积都是圆周率的整数倍，请输出答案除以圆周率后的值（应当是一个整数）。
【样例输入】
6
1 1 2
1 4 2
1 7 2
4 1 2
4 4 2
4 7 2
【样例输出】
12
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 20；
对于所有评测用例，1 <= n <= 30，0 <= x, y <= 1000，1 <= r <= 1000。

dfs全排列 暴力版

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int N;
int ans = 0;
bool book[35];

struct node
{
    int x;
    int y;
    int r;
    int s;
} date[35];

bool check(int k)
{
    int x1 = date[k].x;
    int y1 = date[k].y;
    int r1 = date[k].r;

    int x2, y2, r2;

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        if (book[i])
        {
            x2 = date[i].x;
            y2 = date[i].y;
            r2 = date[i].r;
            if( (x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2) < (r1+r2)*(r1+r2) )
                return false;
        }
    }
    return true;
}


void dfs(int step, int sum)
{
    if (ans > sum)
        return ;

    ans = max(ans, sum);


    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        if (!book[i] && check(i))
        {
            book[i] = true;
            dfs(i, sum + date[i].s);
            book[i] = false;
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);

    cin >> N;

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        cin >> date[i].x >> date[i].y >> date[i].r;
        date[i].s = date[i].r * date[i].r;
    }

    dfs(0, 0);

    cout << ans;

    return 0;
}

优化：
优化的关键点在于用类似贪心的办法（但不是贪心）：将圆按半径从大到小排序，这样优先考虑半径大的圆的选与不选问题；另外把“选”这个分支放在“不选”这个分支前面执行，这样我们相信会尽早地遇到最优解。
引自 https://blog.csdn.net/zhengwei223/article/details/106177541

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

int N;
int ans = 0;
bool book[35];

struct node
{
    int x;
    int y;
    int r;
    int s;
} date[35];

bool cmp(node a,node b)
{
    return a.r > b.r;
}

bool check(int k)
{
    int x1 = date[k].x;
    int y1 = date[k].y;
    int r1 = date[k].r;

    int x2, y2, r2;

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        if (book[i])
        {
            x2 = date[i].x;
            y2 = date[i].y;
            r2 = date[i].r;
            if( (x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2) < (r1+r2)*(r1+r2) )
                return false;
        }
    }
    return true;
}

void dfs(int step, int sum)
{
    if (ans > sum) //剪枝
        return ;
        
    ans = max(ans, sum);

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        if (!book[i] && check(i))
        {
            book[i] = true;
            dfs(i, sum + date[i].s);
            book[i] = false;
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    //freopen("test.out","w",stdout);

    cin >> N;

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        cin >> date[i].x >> date[i].y >> date[i].r;
        date[i].s = date[i].r * date[i].r;
    }
    
    sort(date + 1,date + 1 + N, cmp); //按照半径从大到小排序 
    
    dfs(0, 0);

    cout << ans;

    return 0;
}