初等数论-第二次作业-辗转相除法

（1） 证明：若（a,m)=(b,m)=1,则有（ab,m)=1.

证明：
当m=0时，a=±1，b=±1，结论成立。
当a=b=0时，m=±1,结论成立。
当mb≠0时，(a,m)=(a(b,m),m)=(ab,bm,m)=(ab,(b,1)m)=(ab,m)=1。

类似题型：

（2） 证明：对每一个奇数，有8|(n²-1).

证明：
由题刻设n=2k-1,k∈Z,则8|(n²-1)=8|（n+1)(n-1)=8|2k(2k-2)=8|4k(k-1);
现在只需证明2|k(k-1)即可，
证明2|k(k-1)
因为当k=0或1，结论成立。
当k≧2时，结论明显成立。
综上可得，对每一个奇数，有8|(n²-1)

（3）设n∈Z,证明：6|n³-n.

证明：易证明，2|(n-1)n(n+1),显然成立。
当n为3的倍数时，3|(n-1)n(n+1);
当n不为3的倍数时:
设n=3k+1,k∈Z,则3|(n-1);
设n=3k+2,k∈Z,则3|(n+1);
综上，所以3|(n-1)n(n+1)，
又因为2|(n-1)n(n+1)且当n=0或1时，6|0。
综上，6|n³-n。

（4） 求（2108，3720，2046）.

三个数求最大公约数：
先求前两个数的最大公约数a，然后用a和第三个数再求最大公约数b，得到三个数的最大公约数
先求(2108,3720) ：
3720=1×2108+1612
2108=1×1612+496
1612=3×496+124
496=4×124
即（2108，3720）=124
再求（124，2046）：
2046=16×124+62
124=2×62
即（124，2046）=62
综上，（2108，3720，2046）=62

（5）求（210，330），并讲它表示为这两个数的整系数线性组合.

解：利用辗转相除法可得：
330=1×210+120   30=2×(330-1×210)-210=2×330-3×210
210=1×120+90   30=120-(210-1×120)=2×120-210
120=1×90+30   30=120-90
90=3×30
即（210，330）=30

即(210,330)=30=2×330-3×210

课本习题

11.给定x和y,若m=ax+by,n=cx+dy,这里ad-bc=±1，证明：（m,n)=(x,y).

若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b），(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=(a，b)

贝祖定理：
在数论中，贝祖定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理：若a，b是整数，且（a,b)=d，那么对于任意的整数x，y，ax+by=m中的m一定是d的倍数。
贝祖定理的推论：
特别地，一定存在整数x，y，使ax+by=d成立，且不止一组.

证明：
已知，给定x和y,m=ax+by,n=cx+dy，根据贝祖定理可得，(x,y)|m,(x,y)|n,
又因为∃t1,t2∈Z使(m,n)=t1m+t2n，所以(x,y)|(m,n),所以|(x,y)|⩽|(m,n)|。
cm−an=bcy−ady=±y，因此(m,n)∣y（贝祖定理推论）
dm−bn=adx−bcx=±x，因此(m,n)∣x
因此(m,n)∣(x,y)，所以|(m,n)|⩽|(x,y)|
又因为最大公约数为正数，综上可得，（m,n)=(x,y)。

12.证明：若n>0,aⁿ|bⁿ,则a|b.

由n>0,aⁿ|bⁿ可得，存在t∈Z,使得taⁿ=bⁿ。
移项整理等，t^1/na=b,n>0.
所以a|b。

14.证明：对于同样的整数x和y,17|2x+3y的充分必要条件是17|9x+5y

证明：
⇒
设u=2x+3y,v=9x+5y, (1)
由(1)式可得：3v-5u=17x,故
3v=5u+17x  (2)
5u=3v-17x  (3)
由（2）式知，如果整数下，y能使17|u，则由整除性质得：17|5u(如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。),
又因为17|17x,结合整除性质5有:17|3v。（ a|b 且 a|c <=> 对任意t,s∈Z有a|tb+sc)
根据定理，若质数p整除a¹a²…aⁿ,则p整除a¹,a²,…aⁿ之一。
因为17是质数，17必整除3和v之一，显然，17不整除3，故必有17|v。即17|5x+5y。
⇐同理，
由（3）式可知，如果整数x,y能使17|v,则由整除性质得：17|3v,
又因为17|17x,所以由整除性质5有：17|5u。
而17是质数，由上述定理，17必整除5和u之一，显然，17不整除5，故必有17|u。即17|2x+3y。

18.证明：若a,b是任意两个不全为零的整数，m为任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m.

证明：
根据：定理1.1.6 设a,b不全为零得整数，则（a,b)=min{s:s=ax+by,x,y∈Z,s>0}
(ma,mb)
=min{s:s=max+mby,x,y∈Z,s>0}
=min m{s:s=ax+by,x,y∈Z,s>0}
=m(a,b)

19.证明（a₁,a₂,…,a_n)=((a₁,…a_s),(a_s+1,…,a_n)).

证明:
设g=（a₁,a₂,…,a_n)
h=((a₁,…a_s),(a_s+1,…,a_n))
m=(a₁,…a_s)
n=(a_s+1,…,a_n)
由于g|a₁,…g|a_n,从而g|m,g|n,于是g≤h
另一方面，h|m,h|n,从而h|m∪n，于是h≤g。
因此h=g。