表达整数的奇怪方式AcWing 204 线性同余

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首先看第一个同余方程，$x\equiv m_1(mod{a}_1)$可以化为$1\times x+a_1\times y=m_1$
可以根据扩展欧几里得算法求出一个$x$的可行解，如果是负数

while (x < 0){
    
    
	x = (x + a[1]) % a[1];
}

如果已经有了前k个同余方程的解为$x$，前k+1个同余方程的解也可以求得

设$LC{M}_k$是$lcm(a_1,a_2,...,a_k)$

前k+1个同余方程的解设为$y$，则一定满足$y=x+LC{M}_k\times n$($n$为整数)，

同时$1\times y+a_{k+1}\times q=m_{k+1}$

即$x+LC{M}_k\times n+a_{k+1}\times q=m_{k+1}$

$LC{M}_k\times n+a_{k+1}\times q=m_{k+1}-x$

用扩展欧几里得算法检测是否有解，如果该方程无解，那么就不存在答案

若方程有解，则$y=x+LC{M}_k\times n$

求解完第一个后，依据上述过程求解后续的解即可

求解过程中，如果扩展欧几里得算法求得了一个负数值，转变为正数，即与模数相加取模即可

最后程序会得到一个值，是一个满足条件的可行解，但是不一定最小，只需要对全部的数字的最小公倍数$LC{M}_n$取模即可

假设最小可行解是$ans$，则通解是$ans+LC{M}_n\times N$($N$为整数)，通解对每一个$a_i$取模时，可以分为两部分，第一部分取模后显然满足条件，而第二部分的$LC{M}_n\times N$，因为$LC{M}_n$是$a_i$的倍数，因此取模后为0，所以最后结果依然满足条件，因此上述表达式为通解。

#include <bits/stdc++.h>
template <typename T>
void exgcd(T a, T b, T& x, T& y){
    
    
	if (b == 0){
    
    
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;
}
template<typename T>
T gcd(T a, T b){
    
    
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
template<typename T>
T lcm(T a, T b){
    
    
	return a / gcd(a, b) * b;
}
long long a[30], m[30], n;
long long x, y, res, M;
int main(){
    
    
//	freopen("in.in", "r", stdin);
//	freopen("out.out", "w", stdout);
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++){
    
    
		std::cin >> a[i] >> m[i];
	}
	M = a[1];
	exgcd(1ll, a[1], res, y);
	res = (res + a[1]) % a[1];
	res *= m[1] / gcd(1ll, a[1]);
	int i;
	for (i = 2; i <= n; i++){
    
    
		long long temp = m[i] - res;
		while (temp < 0)temp = (temp + a[i]) % a[i];
		temp %= a[i];
		long long _gcd = gcd(M, a[i]);
		if (temp % _gcd){
    
    
			break;
		}
		exgcd(M, a[i], x, y);
		x = (x + a[i]) % a[i];
		x = (x * (temp / _gcd)) % a[i];
		res += (x * M);
		M = lcm(M, a[i]);
	}
	if (i <= n){
    
    
		std::cout << "-1\n";
	}
	else std::cout << res % M << "\n";
	return 0;
}