AcWing寒假每日一题——Day22最大的和

最大的和

给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为$1\ast 1$或更大的连续子阵列。

矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。

例如，下列数组：

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其最大子矩形为：
9 2
-4 1
-1 8
它拥有最大和15。

输入格式
输入中将包含一个$N\ast N$的整数数组。

第一行只输入一个整数$N$，表示方形二维数组的大小。

从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的$N^2$个整数，它们即为二维数组中的$N^2$个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。

数组中的数字会保持在$[-127,127]$的范围内。

输出格式
输出一个整数，代表最大子矩形的总和。

数据范围
$1\le N\le 100$
输入样例：

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

输出样例：

15

分析： 此题的模型可以转换为一维求连续数组最大的和。
枚举每个子矩阵，用求连续数组最大的和的方式来求。
先看一维数组最大的和怎么求：
给定数组$$a_1,a_2,....,a_n$$
可以将集合划分成两部分（$a$数组的意义为以$i$结尾的区间）：$$f(i)=\{\begin{array}{l}a[i],i=1\\ max(a[i],a[i]+f(i-1)),i>1\end{array}$$
可以把$i>1$的情况中的$a[i]$提出来。得$a[i]+max(0,f(i-1))$

那么扩展到二维，就需要把每一列的和求出来，所以我们用前缀和。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
int a[N][N],n,x;
int main(){
    
    
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        for(int j=1;j<=n;j++){
    
    
            cin>>x;
            a[i][j]=a[i-1][j]+x;
        }
    }
    int res=-127;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        for(int j=i;j<=n;j++){
    
    
            int f=0;
            for(int k=1;k<=n;k++){
    
    
                int w=a[j][k]-a[i-1][k];
                f=max(0,f)+w;
                res=max(f,res);
            }
        }
    }
    cout<<res<<endl;
}