多目标优化算法之SPEA2

Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA)
算法步骤：
Step1：初始化种群P(大小为N)和空的外部储备集P‘(大小为N’)
Step2：将P中的非支配解复制到P’
Sep3：如果P’大小超过N’,通过聚类的方法移除
Step4：计算P和P’中的所有个体适应值
Step5：从P+P’中进行选择操作，直到交配池填满
Step6：交配池中个体进行变异和交叉操作
Step7：是否达到最大迭代次数，if 停止， else Step2.

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关于适应值分配
对于P’来说，$f_i=s_i=\frac{n}{N+1}$ 其中$s_i\in [0,1)$,n是P’中每个个体i支配P中的解的个数,加1保证取值在0到1区间内
对于P来说，$f_j$=1+${\sum }_{i,j\underline{\prec }i}{s}_i$   $where{f}_j\in [1,N)$,$s_i$表示中种群P中的个体j被非支配解集P’中个体i支配。即P中所有支配j的个体。加1保证P’中的适应度均比P好（适应度值越小，具体有更高的保留到下一代的概率）。如下图所示，

文献中提到的聚类方法
当非支配解集增加导致选择压力减小，减慢搜索速度。
聚类步骤：
Step1：初始化聚类集合C,P’中的每个个体构成一个聚类。 C = ∪ i { { i } } C=\cup_i\{\{i\}\} C=∪i​{ { i}}
Step2：if |C|$\le$N’ (即簇的所有个体小于给定的最大值), go step5, else Step3.
Step3：计算不同簇间两个个体的距离
$$d=\frac{1}{|c_1|\cdot |c_2|}\cdot \sum _{i_1\in c_1,i_2\in c_2}||i_1-i_2||$$
Step4：将存在最小距离d的两个簇合并，go to Step2。
Step5：从每个簇中选择一个具有代表个体。（簇内某个个体到其他个体的平均距离最小的个体）作为代表解。
参考文献：Multiobjective Evolutionary Algorithms:A Comparative Case Study and the Strength Pareto Approach

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算法升级SPEA2-----Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm
SPEA缺点：
1.当archive中只有一个，多个个体具有相同适应值。选择压力减小，退化成随机搜索算法
2.聚类只用在储备集archive而为用在中种群所有个体中，丢失外部解集。
3.
与SPEA不同之处：

• 适应度计算
• 邻近估计，更加精准搜索
• 新的存档截断方法，保证边界值的保留
• archive大小固定
  算法步骤：
  $N$（种群大小）,$\overline{N}(archive大小)$，$T(最大迭代次数)$
  Step1：初始化，种群$P_0$,空的archive${\overline{P}}_0$,$t=0$
  Step2：计算适应度
  Step3：环境选择：将$P_t$和${\overline{P}}_t$中的所有非支配解集复制到${\overline{P}}_{t+1}$
  如果${\overline{P}}_{t+1}$个数>$\overline{N}$,进行剪枝操作
  否则，选择$P_t$和${\overline{P}}_t$中的支配解集添加到${\overline{P}}_{t+1}$中,具体下方的环境选择
  Step4：t>T的或者满足其他的终止条件，将A作为PT+1中非支配解所代表的决策变量集合输出
  Step5：选择操作，对${\overline{P}}_{t+1}$进行锦标赛选择放入交配池
  Step6：交配池中的个体进行重组和变异，,将结果存入集合${\overline{P}}_{t+1}$，迭代次数+1回到Step2.
  适应度计算：
  S ( i ) = ∣ { j ∣ j ∈ P t + P ‾ t ∧ j ≺ i } ∣ S(i)=|\{j|j\in{P_t+\overline{P}_t}\land{}j\prec{i}\}| S(i)=∣{ j∣j∈Pt​+Pt​∧j≺i}∣
  $R(i)={\sum }_{j\in P_t+{\overline{P}}_t,i\prec j}S(j)$
  其中$s(i)$表示个体i支配的个体数。R(i)表示原始适应值，表示个体i，支配i的每个个体j支配的所有个体数之和
  
  当多个个体不相互支配时，R(i)难以实现其作用，因此，在SPEA2中。选k邻近估算密度。计算每个个体到储备集和种群中所有个体的距离，按照递增排序，选第k个作为${\sigma }_i^k$
  $D(i)=\frac{1}{{\sigma }_i^k+2}$其中$k=\sqrt{N+\overline{N}}$,分母加2保证值(0,1)
  $F(i)=R(i)+D(i)$
  环境选择
  （1）$|{\overline{p}}_{t+1}|<|\overline{N}|$,$P_t+{\overline{P}}_t$中所有个体根据适应度排序选择前$\overline{N}-|{\overline{p}}_{t+1}|$个
  （2）$|{\overline{p}}_{t+1}|>|\overline{N}|$，其中$j\in {\overline{P}}_{t+1}$.每次迭代中淘汰个体i，其中i满足
  $i{\le }_{d}j:⟺\forall 0<k<|{\overline{P}}_{t+1}|：{\sigma }_i^k={\sigma }_j^k\vee \exists 0<k<|{\overline{P}}_{t+1}|:[(\forall 0<l<k:{\sigma }_i^l={\sigma }_j^l)\wedge {\sigma }_i^k<{\sigma }_j^k]$其中${\sigma }_i^k$
  代表个体i与第k个邻居的距离，上面公式表示具有最小距离的个体被选中删除，如果有多个个体都是距离最小值，则考虑第二个最小距离值，以此类推.具体情况如下图：
  

参考文献：SPEA2: Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm