一维前缀和
前缀和即是将一个数组a前每项 i 的前 i 项和分别对应存放在数组s中，即：s[i] = s[i - 1] + a[ i ];
根据定义我们能够更容易地求出区间和 ，
例求数组a的[ l , r ]之间的和，若按正常情况下我们需要一次遍历for（int i = l; i <= r; i++）sum += a[i] 这种时间复杂度为O（n），
若题中的给出的区间范围很大，时间效率较低。若用前缀和去求区间和，sum[l , r] = s[r] - s[l - 1] 能够达到 预处理为O(n)，询问时间效率为 O(1) 这极大的增加了效率。
模板：
s[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]
a[l] + ... + a[r] = s[r] - s[l-1]
例题：
输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n ,
1≤n,m≤100000 ,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10
C++代码实现：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N =1e6+10;
int n,m;
int a[N],s[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 1;i <= n ;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1;i <= n ;i++)
s[i] = s[i-1] + a[i]; //前缀和的初始化
while(m--)
{
int l ,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",s[r]-s[l]); //区间和的计算
}
return 0;
}
二维前缀和
二维前缀和即与一维前缀和的原理大致相同，只不过加入二维角度思考。
我们先思考怎么求出前缀和数组s，若将二维数组作为做个倒着的平面直角坐标系 i-j。
我们运用数学思维得出：s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j]
我们知道了怎么得出二维前缀和的数组s，接下来需要思考下若我们只要其中子矩阵的和呢？
借用网上一图进行理解：
若我们需要图一中紫色的矩阵之和，我们利用前缀和的特点，利用图二的黄色矩阵之和减去图三与图四的蓝色部分的矩阵和，发现此时是多减去了一部分即为图四的绿色部分，因此我们最后需要加进去。
即：S = s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 -1 , y1 - 1]
这样跟上面的一样做到了预处理效率为O(n)，查询效率为O(1)
模板：
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
S[i, j] = S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1] + a[i][j]
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
例题：
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。
输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000 ,
1≤q≤200000 ,
1≤x1≤x2≤n ,
1≤y1≤y2≤m ,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
C++实现代码：
#include<iostream>
const int N = 1010;
using namespace std;
int n, m, q;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i = 1;i <= n;i++)
for(int j = 1;j <= m ; j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i = 1;i <= n ; i++)
for(int j = 1; j <= m ;j++)
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
while(q --)
{
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
printf("%d\n",s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 -1][y1 -1]);
}
return 0;
}