前缀和——（2）二维数组前缀和

前面部分我们介绍了一维前缀和https://blog.csdn.net/justidle/article/details/103524440。下面我们扩展一下，来介绍二维前缀和。

什么是二维前缀和

比如我们有这样一个矩阵a，如下所示：

1 2 4 3
5 1 2 4
6 3 5 9

我们定义一个矩阵sum，其中，那么这个矩阵就是这样的：

1  3  7  10
6  9  15 22
12 18 29 45

如何计算二维前缀和

求二维前缀和

假设我们需要计算（x，y）的前缀和，如下图所示。

图中我们标注出三个点。

• 红色点表示（x，y）前缀和，用sum[x][y]表示。
• 蓝色表示（x，y-1）前缀和，用sum[x][y-1]表示。
• 黄色表示（x-1，y）前缀和，用sum[x-1][y]表示。
• 紫色表示（x-1，y-1）前缀和，用sum[x-1][y-1]表示。

假设第 i 行第 j 列对应的数组为，对应的二维前缀和为。基于容斥原理，那么

样例

由于是一个非常简单的模板题，请参考以下链接http://47.110.135.197/problem.php?id=5182。也就是求二维数组对应的前缀和数组。参考代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e3+2;
const int MAXM = 1e3+2;
int sum[MAXN][MAXM] = {};

int main() {
	int n,m,r,c;
	cin>>n>>m;//>>r>>c;
	
	int data;
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		for (int j=1; j<=m; j++) {
			cin >> data;
			sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+data;
		}
	}
	
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		for (int j=1; j<=m; j++) {
			cout << sum[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	
	return 0;
}

求范围二维前缀和

比如求（x1,y1）- （x2,y2）子矩阵的和。

下面我们用一个例子来详细说明计算过程，如下图所示：

图上有灰色、黄色、绿色和蓝色四种颜色，每个颜色表示一个区域。假设我们要求上图绿色部分的前缀和。

从图中我们可以清楚的知道，对应绿色部分前缀和为:

假设对应坐标为（x,y）的数据前缀和用来表示。

整个区域。左上角为（1,1），右下角为（4,4），对应的前缀和为。

灰色区域。左上角为（1,1），右下角为（2,2），对应的前缀和为。

黄色区域。对应的前缀和为。

蓝色区域。对应的前缀和为。

绿色区域。对应的前缀和为

样例

是一个非常简单的模板题，请参考以下链接http://47.110.135.197/problem.php?id=5183。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e3+2;
const int MAXM = 1e3+2;
int sum[MAXN][MAXM] = {};

int main() {
	int n,m,r,c;
	cin>>n>>m>>r>>c;
	
	int data;
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		for (int j=1; j<=m; j++) {
			cin >> data;
			sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+data;
		}
	}
	

	int ans = 0;
	for (int i=r; i<=n; i++) {
		for (int j=c; j<=m; j++) {
			data = sum[i][j]-sum[i-r][j]-sum[i][j-c]+sum[i-r][j-c];
			ans = max(ans, data);
		}
	}
	
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
}