基础算法(9) —— 前缀和(一维+二维)

前缀和

前缀和的定义：求前n项和

例题：给定一个数列 ${a_n}(1≤n≤100000)$,有 $q(1≤q≤100000)$次询问，每次询问树立的第m个元素到第n个元素的和。

如果是暴力解法：

有q次询问，每次都要扫一遍这个区间，最大时间复杂度是 $O(q×n)$

优化：（前缀和）

复杂度主要是在：q次查询，就是要扫q次区间。

前缀和的思想： 开一个更大的数组，将对区间的查询，转换为对区间端点的查询。

$sum[i]=sum[i-1]+a[i];$ //前 i-1项的和加上第 i 项的数值

意思就是：开一个大数组，假设为 $a[i](i≥n)$，和为 $sum[i]=sum[i-1]+a[i]$， $a[m]$到 $a[n]$的和等于
$sum[n]-sum[m-1]$

$sum[i]$是前缀和——算法竞赛中常用的小技巧。
前缀和的单次查询的时间复杂度是 $O(1)$ ， $q$ 次则是时间复杂度是 $O(n+q)$

例题
输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
$1≤l≤r≤n$,
$1≤n,m≤100000$,
$−1000≤数列中元素的值≤1000$
输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,m;
int a[N],sum[N];
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1;i <= n;i++)//前缀和的初始化
        scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        sum[i] = sum[i-1] + a[i];
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", sum[r] - sum[l-1]);//区间和的计算
    }
    return 0;
}

二维前缀和

求蓝色阴影部分面积： $S_{x_2y_2}-S_{x_2y_1-1}-S_{x_1y_2-1}+S_{x_1-1y_1-1}$

前缀和公式： $S_{ij}=S_{i-1j}+S_{ij-1}-S_{j-1i-1}+a_{ij}$

例题：子矩阵的和
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
$1≤n,m≤1000$,
$1≤q≤200000$,
$1≤x1≤x2≤n$,
$1≤y1≤y2≤m$,
$−1000≤矩阵内元素的值≤1000$
输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

#include<iostream>
#include<cstdio>

const int N = 1010;

int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1; j <= n;j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    for(int i = 1 ;i <= m;i++)
        for(int j  = 1;j <= m;j++)
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];//计算前缀和
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);//计算子矩阵
    }
    return 0;
    
}