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马拉车算法 Manacher‘s Algorithm 是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性O(n)。
—马拉车算法利用回文串的特性来避免重复计算—
第一步：在输入字符串每个字符之间都插入一个“#”，如：S=“abcbaade”，插入后字符串变为S’=“#a#b#c#b#a#a#d#e#”。易知，插入的“#”的个数和字符串字符个数奇偶性不同，所以处理后的字符串长度变为奇数，这一步统一了字符串的奇偶性
第二步：新建数组P[]，P[]的长度和处理后的S字符串长度一样，P[i]中存放的是S’[ i ]处的回文半径，表示S’[ i ]为中心的最大回文串的长度，如以S’[ i ]为中心的最长回文子串的为S’[ i , r ]，那么P[ i ]= r - i + 1。这样最后遍历数组P[ ]，取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i ]本身。
！P[]数组的特殊性质：S’[ i ]对应的P[ i ]的值减去1就是该字符在原字符串S中对应最长回文串的长度
如何求数组P[]
从左往右计算数组P[]，M为之前取得最大回文串的中心位置，而R和L分别为该回文串能到达最右端和最左端的值
情况1：当 i <= R时，利用回文串的特性，找到点 i 关于 M 的对称点 j ，其值为 j = M*2 - i，因为点 j 、i 在以M为中心的最大回文串的范围内 [L , R]
如果P[ j ] < R - i (即 j 和 L 之间的距离），说明以点j为中心的回文串没有超出范围 [L , R],由回文串的特性可知P[ j ] = P[ i ]。
如果P[ j ] >= R - i (即 j 为中心的最大回文串左端超过了L),那么由回文串特性 [L , j] 之间的字符是不需要验证的，需要验证的是超出部分 > R部分是否有关于 i 对称字符，继续从R+1开始一一匹配，直到不能匹配为止。
情况2：当 i > R时，无法利用到回文串的特性，从 i + 1开始一一匹配
例子：LeetCode 最大回文子串
- 最长回文子串 - 力扣（LeetCode）
LeetCode 最长回文子串
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
示例 1：
输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba" 也是一个有效答案。
示例 2：
输入: "cbbd"
输出: "bb"
Python3示例代码：
class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
'''最长公共子串(动态规划) --- 超时'''
# if len(s) == 1:
# return s
# if len(s) == 0:
# return ""
# l = len(s)
# maxLength = 0
# left = 0
# right = 0
# array = [[0 for i in range(0,l + 2)] for j in range(0,l + 2)]
# for i in range(0,l):
# for j in range(0,l):
# if s[i] == s[j]:
# now = array[i][j+1] + 1
# array[i+1][j] = now
# if now > maxLength:
# status = 0
# for t in range(0,int(now/2) + 1):
# if s[j + t] != s[j + now - t - 1]:
# status = 1
# if status == 0:
# maxLength = now
# left = j
# right = j + maxLength
# return s[left:right]
'''马拉车算法 --- 时间复杂度降低到线性'''
S = "^#"
for i in range(0,len(s)):
S = S + s[i] + "#"
S = S + "$"
#print(S)
P = [0 for i in range(0,len(S))]
M = 0
R = 0
for i in range(1,len(S) - 1):
j = M * 2 - i
if R > i:
if R - i > P[j]:
P[i] = P[j]
else:
P[i] = R - i
else:
P[i] = 0
# print("P[i]:" + str(P[i]))
# print("i:" + str(i))
# print("S[i]" + str(S[i]))
while S[i + P[i] + 1] == S[i - P[i] - 1]:
P[i] = P[i] + 1
# print(P[i])
if i + P[i] > R:
R = i + P[i]
M = i
#print(P)
Center = 0
maxl = 0
for i in range(1,len(S) - 1):
if P[i] >= maxl:
maxl = P[i]
Center = i
start = int((Center - maxl)/ 2)
end = start + maxl
# print(start)
# print(end)
return s[start:end]