manacher's Algorithm: 寻找最长回文串的O(n) 算法

这是一种 时间复杂度为 $O(n)$ 的高效的求解字符串回文子串的动态规划算法。
网上文章一大堆，我主要参考 : 最长回文子串——Manacher 算法

他的思想如下:

算法描述

对一个字符串，str,(e.g: str = “agga”) 由于他的回文子串有两种情况，1是以字符串中字母为中心，即长度为奇数的串，2是以间隔为中心，即长度为偶数的串。因此先对其做一个填充:

str_pad = “#a#g#g#a#”, 这样回文串就全部以字符为中心了。

记 $R[i]$ 以字符 $str[i]$ 为中心的最长回文串的半径。显然(R[i]-1) 就是原来的回文串长度。

1. 遍历$i=1:n$ 计算所有的 $R[i]$,
   记 $mr$ 为当前遍历的字符串中回文串的最右端点, 同时记 $zx$ 为当前最右端点的回文串的中心，即 $(zx-mr,zx+mr)$ 一定是一个回文串。那么当前计算的点 $i$有两种情况：
   a. $zx < i < mr$, 此时它关于 $zx$ 的对称点就是 $j = 2zx -i$。由对称性： $R[i]\ge min\{R[j],mr-i\}$ 因此我们可以继续从此时的$R[i]$往后匹配.（并且仅有 $R[j] > mr-i$ 时才会往后匹配，即mr移动）
   b. $i >=mr$, 此时就挨着匹配就好

code

上面的描述有点简短,建议结合文首文章中的图片来理解

char str[MAXN],pp[MAXN*2];
int R[MAXN*2]; // 回文串半径
int n,len;
void manacher(){
    // preprocess
    n = strlen(str+1);
    len=1;
    char pad = '#';
    pp[0] = '$';
    for(int i=1 ; i <= n ; ++i){
        pp[len++] = pad;
        pp[len++] = str[i];
    }
    pp[len++] = pad;
    ms(R,0);
    int mr=0,zx =0;//mr 刚好越过最右回文的点
    for(int i=1 ; i<len ; ++i){
        R[i] = mr > i? min(R[2*zx -i],mr -i) : 1;
        while (pp[i+R[i]]==pp[i-R[i]])++R[i];
        if(i+R[i]> mr){
            mr = i+R[i];
            zx = i;
        }
    }
}

复杂度分析

我们可以利用摊还分析，由于只有mr 移动才会开始有效匹配，因此，$mr$移动次数就是 时间复杂度 $O(n)$

练习

hihocoder #1799 : 基因合成
题解