【LeetCode】233. 数字 1 的个数（同剑指Offer43）

一、题目

给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。

示例:

输入: 13
输出: 6 
解释: 数字 1 出现在以下数字中: 1, 10, 11, 12, 13 。

二、解决

1、暴力破解

思路：

看完题目，然后可直接写出代码，but 该方法超时。

代码：

class Solution {
    
    
    public int countDigitOne(int n) {
    
    
        int cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            String str = Integer.toString(i);
            for (char c : str.toCharArray()) {
    
    
                if (c == '1') cnt++;
            }
        }
        return cnt;
    }
}

时间复杂度： $O(nlogn)$
空间复杂度： $O(logn)$

2、动态规划

版本1

思路：

主要参考3，具体分析如下：

数Y是X位数，各位（个、十、百、千、万……）数字组成为$n_x{n}_{x-1}\cdots n_2{n}_1$。其中

• 1个数：cnt；
• 当前位：$n_i$，记为cur；
• 高位：$n_x{n}_{x-1}\dots n_{i+1}$，记为high；
• 低位：$n_{i-1}\dots n_2{n}_1$，记为low；
• 位因子：$10^i$，记为factor。

1. if cur = 0，then cnt = high×digit

e.g. 求2304十位，即facor=10时，1出现的个数。

另一种推导：十位固定位1
1) 千位选{
    
    0，1}，百位{
    
    0，1，...，9}，个位{
    
    0，1，...，9}，cnt = 2*10*10=200;
2) 千位选2，百位{
    
    0，1，2}，个位{
    
    0，1，...，9}，cnt = 1*3*10=30;

总计：200+30=230.  可推出公式：cnt  = high×digit

2. if cur = 1，then cnt = high×digit+low+1

e.g. 求2314十位，即facor=10时，1出现的个数。

另一种推导：十位固定位1
1) 千位选{
    
    0，1}，百位{
    
    0，1，...，9}，个位{
    
    0，1，...，9}，cnt = 2*10*10=200;
2) 千位选2，     百位{
    
    0，1，2}，    个位{
    
    0，1，...，9}，cnt = 1*3*10=30;
3）千位选2，     百位选3，          个位{
    
    0，1，...，4}，cnt = 5;

总计：200+30+5=235.  可推出公式：cnt  = high×digit+low+1

3. if cur > 1，then cnt = (high+1)×digit

e.g. 求2324十位，即facor=10时，1出现的个数。

另一种推导：十位固定位1
1) 千位选{
    
    0，1}，百位{
    
    0，1，...，9}，个位{
    
    0，1，...，9}，cnt = 2*10*10=200;
2) 千位选2，     百位{
    
    0，1，2，3}，  个位{
    
    0，1，...，9}，cnt = 1*4*10=40;

总计：200+40=240.  可推出公式：cnt  = (high+1)×digit

代码：

class Solution {
    
    
    public int countDigitOne(int n) {
    
    
       int res = 0;
       long a = 0;
       long b = 0;
       for(long m=1;m<=n;m*=10){
    
    
           a = n/m;
           b = n%m;
           if(a % 10 > 1){
    
    
               res += a/10 * m + m;
           }else if( a%10 == 1){
    
    
               res += a/10 * m + b + 1;
           }else{
    
    
               res += a/10 * m;
           }
       }
        return res;
    }
}

时间复杂度： $O(logn)$
空间复杂度： $O(1)$

版本2

思路： 对上面的推导公式进一步优化。
代码：

// V1.0
class Solution {
    
    
    public int countDigitOne(int n) {
    
    
        if (n <= 0) return 0;
        long ones = 0;
        for (long i = 1, q = n; i <= n; i *= 10, q /= 10) {
    
    
            long pre = n / (i * 10), cur = q % 10, suf = n % i;
            ones += pre * i;
            ones += (1 < cur ? i : (1 == cur ? suf + 1: 0));
        }
        return (int) ones;
    }
}

// V2.0
class Solution {
    
    
    public int countDigitOne(int n) {
    
    
	    if (n <= 0) return 0;
        int ones = 0;
        for (long m = 1; m <= n; m *= 10)
            ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0);
        return ones;
    }
}

时间复杂度： $O(logn)$
空间复杂度： $O(1)$

三、参考

1、数字 1 的个数
2、4+ lines, O(log n), C++/Java/Python
3、面试题43. 1～n 整数中 1 出现的次数（清晰图解）
4、Runtime: 0 ms, faster than 100.00% of Java online
5、Java中int转String 和 String转int 各方法效率对比