NOIP2015普及组初赛难点整理

选择题

1. 前序遍历序列与中序遍历序列相同的二叉树为（ ）。
   A. 根结点无左子树的二叉树
   B. 根结点无右子树的二叉树
   C. 只有根结点的二叉树或非叶子结点只有左子树的二叉树
   D. 只有根结点的二叉树或非叶子结点只有右子树的二叉树

【解析】要使前序遍历序列与中序遍历序列相同，对于任意非叶子结点，不能存在左子树，否则前序遍历序列与中序遍历序列不可能相同。除此之外，只有根结点的二叉树，前序、中序、后序遍历都相同。

2. 如果根的高度为 $1$，具有 $61$ 个结点的完全二叉树的高度为（ 6）。

【解析】有$n$个结点完的全二叉树高度$h=\lfloor lo{g}_2^n\rfloor +1$，所以答案为$\lfloor lo{g}_2^{61}\rfloor +1=6$。

3. 设某算法的计算时间表示为递推关系式 $T(n)=T(n-1)+n$（$n$ 为正整数）及 $T(0)=1$，则该算法的时间复杂度为（$O(n^2)$ ）。

【解析】通过递推式，可以得到： $T(n)=T(n-1)+n=T(n-2)+n-1+n=T(n-3)+n-2+n-1+n=T(0)+1+2+...+n$。

整理后：$T(n)=1+2+...+n=(1+n)\times n/2$，所以该算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

问题求解

1. 重新排列 $1234$ 使得每一个数字都不在原来的位置上，一共有（9 ）种排法。

【解析】错排问题。 问题规模较小，也可以手动枚举。错排的方案有：
2143、2341、2413、3142、3412、3421、4123、4312、4321，一共9种。
解决错排问题的算法思想是将排列第n个数的情况$f(n)$分为两类：

• 前面$n-1$个数已经完成错排，那么从前面$n-1$个数中任意挑出一个数与第$n$个数进行交换，此时构成$n$个数的错排，方案总数为$(n-1)\times f(n-1)$。
• 前面$n-1$个数只有一个数在自己原来位置，即已经构成$n-2$个数的错排，此时将该数与第$n$个数进行交换，则也能构成$n$个数的错排，方案总数为$(n-1)\times f(n-2)$。

所以，$n$个数的错排方案总数为：$f(n)=(n-1)\times (f(n-1)+f(n-2))$。
初始状态：$f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9$

答案：9

2. 一棵结点数为 $2015$ 的二叉树最多有（ 1008）个叶子结点。

【解析】二叉树中结点总数$n=n_0+n_1+n_2$。根据二叉树的性质：$n_0=n_2+1$，要保证二叉树中叶子结点最多，那么$n_1$要尽可能的少，此时的二叉树一定是一棵完全二叉树。根据完全二叉树的性质，最后一个拥有孩子的结点的父结点的编号$=n/2$，那么一棵结点数为：
$2015$ 的二叉树最多有$2015-2015/2=1008$个叶子结点。

完善程序

1. （打印月历）输入月份 $m(1\le m\le 12)$，按一定格式打印 $2015$ 第 $m$ 月的月历。例如，2015 年一月的月历打印效果如下（第一列为周日）：

#include<iostream>
using namespace std;
const int dayNum[]={-1,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int m, offset, i;
int main()
{
    cin >> m;
    cout <<"S	M	T	W	T	F	S"<<endl;//'	'为tab制表符
    ①;
    for (i = 1; i < m; i++)
        offset = ②;
    for (i = 0; i < offset; i++)
        cout <<'	';
    for (i = 1; i <= ③;i++)
    {
        cout << ④;
        if(i==dayNum[m]||⑤==0)
            cout << endl;
        else
            cout << '	';
    }
    return 0;
}

【解析】通过偏移数offset将每个月的日期输出到对应的星期上。
空①，offset记录上个月的偏移数，1月份的偏移数为4，所以此空应填：offset=4
空②，计算第m个月的偏移数，所以应加上前一个月的天数并对7取余数，(offset+dayNum[i])%7
空③，输出第m个月的日期，dayNum[m] 空④，输出循环变量i表示的日期
空⑤，换行条件，当前日期加上偏移数如果是7的倍数时换行，所以应填入：(offset+i)%7

2. (中位数）给定 $n$（$n$ 为奇数且小于 $1000$）个整数，整数的范围在$0m$（$0<m<2^{31}$）之间，请使用二分法求这 nn 个整数的中位数。所谓中位数，是指将这 $n$ 个数排序之后，排在正中间的数。

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
int n,i,lbound,rbound,mid,m,count;
int x[MAXN];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(i = 0; i < n; i++)
        cin >> x[i];
    lbound = 0;rbound = m;
    while(①) {
        mid=(lbound+rbound)/2;
        ②;
        for(i = 0; i < n; i++)
        {
            if(③)
                ④;
        }
        if(count > n/2)
            lbound = mid + 1;
        else
            ⑤;
    }
    cout << rbound << endl;
    return 0;
}

【解析】二分搜索求中位数。lbound和rbound即中位数的左右边界。

• 空①，二分搜索的循环条件，即lbound<rbound
• 空②，count记录x[]中比中位数mid大的数的个数，此时应该初始化为0，所以此空应填入count=0。
• 空③，if(count > n/2) lbound = mid + 1;表示：如果count的个数超过了一半，再到更大的值区间中搜索中位数，即mid不够大。所以此空应填入x[i]>mid。
• 空④，count++
• 空⑤，count <= n/2，到更小的值空间搜索，此时rbound=mid。