NOIP2015普及组复赛T4——推销员

题目描述

阿明是一名推销员，他奉命到螺丝街推销他们公司的产品。

螺丝街是一条死胡同，出口与入口是同一个，街道的一侧是围墙，另一侧是住户。

螺丝街一共有$N$家住户，第i家住户到入口的距离为$S_i$米。

由于同一栋房子里可以有多家住户，所以可能有多家住户与入口的距离相等。

阿明会从入口进入，依次向螺丝街的X家住户推销产品，然后再原路走出去。

阿明每走$1$米就会积累$1$点疲劳值，向第$i$家住户推销产品会积累$A_i$点疲劳值。

阿明是工作狂，他想知道，对于不同的$X$，在不走多余的路的前提下，他最多可以积累多少点疲劳值。

输入格式
第一行有一个正整数$N$，表示螺丝街住户的数量。

接下来的一行有$N$个正整数，其中第$i$个整数$S_i$表示第i家住户到入口的距离。数据保证$S1\le S2\le \dots \le Sn<10^8$。

接下来的一行有$N$个正整数，其中第$i$个整数$A_i$表示向第i户住户推销产品会积累的疲劳值。数据保证$A_i<10^3$。

输出格式
输出N行，每行一个正整数，第i行整数表示当$X=i$时，阿明最多积累的疲劳值。

数据范围
$1\le N\le 10^5$

输入样例：

5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5

输出样例：

15
19
22
24
25

算法思想（贪心+前缀和）

输入样例分析：

• 当x = 1时，阿明最多积累的疲劳值是到第5家推销商品，ans = 5 + 2 * 5 = 15
• 当x = 2时，阿明最多积累的疲劳值是到第4、5家推销商品，ans = 4 + 5 + 2 * 5 = 19
• 当x = 3时，阿明最多积累的疲劳值是到第3、4、5家推销商品，ans = 3 + 4 + 5 + 2 * 5 = 22
• 当x = 4时，阿明最多积累的疲劳值是到第2、3、4、5家推销商品，ans = 2 + 3 + 4 + 5 + 2 * 5 = 24
• 当x = 5时，阿明最多积累的疲劳值是到第1、2、3、4、5家推销商品，ans = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 2 * 5 = 25

通过分析样例可以发现，阿明向 x 家住户推销产品的能积累最大疲劳值只有两种情况：

1. 推销给$A_i$值最大的x家
2. 推销给$A_i$值最大的x - 1家，然后最后一家尽可能的远离得远

因此可以利用贪心思想，将所有住户按照$A_i$从大到小排序。然后，为了方便计算，可以利用前缀和的思想预处理出下列数组：

• s[i]表示向前i家住户推销产品的疲劳值$A_i$之和
• f[i]表示从入口到前i家住户距离$S_i$的最大值
• g[i]表示从第i~n家$2\times S_i+A_i$的最大值，即第i家来回的距离 + 到第i推销商品疲劳值的最大值。

那么，向x家推销产品的最大疲劳值就是下面两种情况的最大值：

1. 推销给$A_i$值最大的x家，即s[i] + 2 * f[i]
2. 推销给$A_i$值最大的x - 1家，然后最后一家尽可能的远离得远，即s[i - 1] + g[i]

时间复杂度

预处理前缀和数组和求每个 x 对应的最大花费都是线性的，所以算法的瓶颈在于排序算法，时间复杂度为$O(nlogn)$。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010;

PII a[N];

int s[N]; //s[i]表示前i户Ai的和
int f[N]; //表示前i户Si的最大值
int g[N]; //表示i~n中2Si + Ai的最大值

int main()
{
    
    
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    //输入Si
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i].second); 
    //输入Ai
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i].first); 
    
    //按照Ai从大到小排序
    sort(a + 1, a + n + 1);
    reverse(a + 1, a + n + 1);
    
    //预处理s[i],表示前向前i家住户推销产品的疲劳值前缀和
    for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i].first;
    
    //预处理f[i],表示从入口到前i家住户距离Si的最大值
    for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = max(f[i - 1], a[i].second);
    
    //预处理g[i],表示2 * Si + Ai的最大值
    //注意，这里从后向前计算, 先计算出小Ai值对应的g[i]
    //因为g[i]表示的是从i~n家2*Si +Ai最大值
    for(int i = n; i >= 1; i --) g[i] = max(g[i + 1], 2 * a[i].second + a[i].first);
    
    //输出
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
    
    
        printf("%d\n", max(s[i] + 2 * f[i], s[i - 1] + g[i]));
    }
    
    return 0;
}