NOIP2013提高组初赛难点整理

选择题

1. 斐波那契数列的定义如下：$F_1=1,F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{(}n-2)(n\ge 3)$。如果用下面的函数计算斐波那契数列的第 n 项，则其时间复杂度为（ ）。

int F(int n){
    
    
    if (n <= 2)
        return 1;
    else
        return F(n - 1) + F(n - 2);
}

【解析】排除法，递归调用求斐波那契数列第$n$项。该题的递归调用树为二叉树，调用次数即二叉树的结点个数。所以时间复杂度接近$O(2^n)$，因此排除$O(1)$、$O(n)$、$O(n^2)$。
具体推导过程，可以参考这篇博文。

问题求解

2. 现有一只青蛙，初始时在 $n$ 号荷叶上。当它某一时刻在 $k$ 号荷叶上时，下一时刻将等概率地随机跳到 $1,2,\dots ,k$号荷叶之一上，直至跳到 $1$ 号荷叶为止。当 $n=2$ 时，平均一共跳 $2$ 次；当 $n=3$ 时，平均一共跳 $2.5$次。则当 $n=5$ 时，平均一共跳（）次。

【解析】f(n)表示从1号荷叶跳到n号荷叶的平均次数，那么：

• $f(1)=0$
• $f(2)=\frac{1}{2}\times (f(1)+1)+\frac{1}{2}\times (f(2)+1)$。$\frac{1}{2}$的概率从1号荷叶跳1次过来，$\frac{1}{2}$的概率从2号荷叶跳1次过来，$f(2)=2$。
• $f(3)=\frac{1}{3}\times (f(1)+1)+\frac{1}{3}\times (f(2)+1)+\frac{1}{3}\times (f(3)+1)$。$\frac{1}{3}$的概率从1号荷叶跳1次过来，$\frac{1}{3}$的概率从2号荷叶跳1次过来，$\frac{1}{3}$的概率从3号荷叶跳1次过来，$f(3)=\frac{5}{2}$。
• $f(4)=\frac{1}{4}\times (f(1)+1)+\frac{1}{4}\times (f(2)+1)+\frac{1}{4}\times (f(3)+1)+\frac{1}{4}\times (f(4)+1)$。$\frac{1}{4}$的概率从1号荷叶跳1次过来，$\frac{1}{4}$的概率从2号荷叶跳1次过来，$\frac{1}{4}$的概率从3号荷叶跳1次过来，$\frac{1}{4}$的概率从4号荷叶跳1次过来，$f(4)=\frac{17}{6}$。
• $f(5)=\frac{1}{5}\times (f(1)+1)+\frac{1}{5}\times (f(2)+1)+\frac{1}{5}\times (f(3)+1)+\frac{1}{5}\times (f(4)+1)+\frac{1}{5}\times (f(5)+1)$，所以$f(5)=\frac{38}{12}$。

阅读程序

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int SIZE = 100;
int n, m, p, a[SIZE][SIZE], count;
void colour(int x, int y){
    
    
    count++;
    a[x][y] = 1;
    if ((x > 1) && (a[x - 1][y] == 0)) colour(x - 1, y);
    if ((y > 1) && (a[x][y - 1] == 0)) colour(x, y - 1);
    if ((x < n) && (a[x + 1][y] == 0)) colour(x + 1, y);
    if ((y < m) && (a[x][y + 1] == 0)) colour(x, y + 1);
}
int main(){
    
    
    int i, j, x, y, ans;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    cin>>n>>m>>p;
    for (i = 1;i <= p;i++) {
    
    
        cin>>x>>y;
        a[x][y] = 1;
    }
    ans = 0;
    for (i = 1;i <= n;i++)
        for (j = 1;j <= m;j++)
            if (a[i][j] == 0) {
    
    
                count = 0;
                colour(i, j);
                if (ans < count)
                    ans = count;
            }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

输入：
6 5 9
1 4
2 3
2 4
3 2
4 1
4 3
4 5
5 4
6 4

【解析】深度优先遍历，求连通块的大小。注意求到矩阵的第m列即可。